vendredi, septembre 18, 2009

UN JEU AVEC LES NOMBRES DE FIBONACCI

[Un autre texte pour le prochain À Bâbord. Commentaires bienvenus. J'ai tellement de trucs à écrire durant les deux prochains mois que je demande où je vais trouver le temps de dormir... :-)

Fibonacci (env. 1175- env. 1250), un très grand mathématicien européen du Moyen-Âge, a laissé son nom à une célèbre suite de nombres.

Son père ayant travaillé en Afrique du Nord, c’est là qu’il a appris les mathématiques, de professeurs musulmans.

Revenu en Italie, il comprend la supériorité des chiffres arabes et du système décimal, qu’il a appris, sur les chiffres romains et sur le calcul sur abaque alors en usage en Europe. En 1202, il publie donc, pour en faire l’éloge, Liber Abaci, un ouvrage majeur pour l’introduction en Occident de ces importantes innovations mathématiques, ainsi que de la notation algébrique et du zéro. Ces idées mettront toutefois bien du temps à s’imposer.

Mais on se souvient aujourd’hui de Fibonacci surtout à cause d’une suite (la suite de Fibonacci) et de nombres (les nombres de Fibonacci) qu’il a trouvés en résolvant une petite énigme, justement dans Liber Abaci.

Voici ce délicieux problème.

Supposons un enclos dans lequel nous mettrons un couple de lapins adultes prêts à se reproduire. Supposons aussi que les lapines mettent bas à partir de deux mois et qu’elles donnent ensuite naissance, à chaque mois, à un couple de lapins. Si aucun animal ne meurt, combien, un an plus tard, aurons-nous de lapins dans notre enclos? [Avant de poursuivre, vérifiez votre réponse plus bas]

***

La suite et les nombres de Fibonacci ont trouvé un grand nombre d’applications en mathématiques et servent à décrire plusieurs phénomènes.

Mais on doit à un mathématicien québécois, Roger V. Jean, de l’université du Québec à Rimouski, l’amusante application que voici et qui permet de deviner quel entier entre 1 et 75 a choisi une personne.

Le jeu se fait avec les cartes suivantes, appelées cartes de Fibonacci, puisque, comme vous le remarquez, les premiers nombres sur chaque carte sont dans l’ordre ceux de la suite de Fibonacci, qu’on d’abord placés, avant de ventiler les autres entiers jusqu’à 75.

Carte 1
1, 4, 6, 9, 12, 14, 17, 19, 22, 25, 27, 30, 33, 35, 38, 40, 43, 46, 48, 51, 53, 56, 59, 61, 64, 67, 69, 72, 74

Carte 2
2, 7, 10, 15, 20, 23, 28, 31, 36, 41, 44, 49, 54, 57, 62, 65, 70,
75

Carte 3
3, 4, 11, 12, 16, 17, 24, 25, 32, 33, 37, 38, 45, 46, 50, 51, 58, 59, 66, 67, 71, 72

Carte 4
5, 6, 7, 18, 19, 20, 26, 27, 28, 39, 40, 41, 52, 53, 54, 60, 61, 62, 73, 74, 75

Carte 5
8, 9, 10, 11, 12, 29, 30, 31, 32, 33, 42, 43, 44, 45, 46, 63, 64, 65, 66, 67

Carte 6
13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75

Carte 7
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33

Carte 8
34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54

Carte 9
55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75

On demande à une personne de choisir un nombre, sans le dévoiler, puis d’indiquer sur quelles cartes il figure. Le nombre choisi vous sera révélé est additionnant les premiers nombres des cartes concernées.

Supposons que j’aie choisi 71. J’informe le meneur de jeu que mon nombre se trouve sur les cartes 3, 6, et 9. Celui-ci constate que les premiers nombres sur ces cartes sont respectivement 3, 13 et 55. Or, 3+13+ 55= 71

On prétend bien entendu lire dans les pensées.

***

Solution

Le tableau qui suit permet de visualiser la situation.



On constate que la suite qu’on obtient est : 1, 1, 2, 3, 5, 8, …. On remarquera que, dans cette suite, chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent : 2 = 1+1; 3 = 2+1; 5 = 3+2; 8 = 5+3. Sachant cela, on conclura que le mois suivant il y aura 13 paires de lapins dans l’enclos.

Ce que nous venons de trouver s’appelle une suite de Fibonacci : c’est une suite dont les deux premiers termes sont 1 et dont chacun des termes successifs est égal à la somme des deux précédents. Chacun des entiers naturels qui composent cette série (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 …) s’appelle un nombre de Fibonacci. Et comme 377 est le 14ème nombre de Fibonacci, vous pouvez être certain que c’est le nombre de lapins que nous aurons dans un an dans notre enclos.


P.S. Les cartes de Fibonacci seraient produites par une application du Théorème de Zeckendorf. Si quelqu'un qui connait ces choses passe par ici et veut m'expliquer, j'en serais très heureux.

4 commentaires:

Simon de Montigny a dit…

Le théorème de Zeckendorf dit que tout nombre entier peut s'écrire comme une somme de termes différents de la suite de Fibonacci (par exemple, 6 = 5 + 1, 17 = 13 + 3 + 1). De plus, il y a une seule manière d'écrire chaque nombre si on interdit l'utilisation de deux termes consécutifs de la suite (sinon on aurait aussi 6 = 3 + 2 + 1).

La carte 1 contient tous les nombres de 1 à 75 qui ont 1 dans leur somme en nombres de Fibonacci, la carte 2 contient tous les nombres de 1 à 75 qui ont 2 dans leur somme en nombres de Fibonacci, ... , la carte 6 contient tous les nombres de 1 à 75 qui ont 13 dans leur somme en nombres de Fibonacci, etc.

Quand la personne indique les cartes du nombre auquel elle pense, elle révèle involontairement les nombres de Fibonacci qui le composent.

Normand Baillargeon a dit…

Cher Simon,
1000 mercis.

Normand

Anonyme a dit…

Par contre, je ne crois pas que ce tour de magie soit si impressionnant...

En effet, en indiquant les cartes dans lesquelles apparaissent le nombre mystère, la personne révèle par le fait même le nombre qu'elle a choisi, peu importe que le magicien connaisse ou non le truc de magie. Il suffit en effet d'observer les cartes pour voir qu'il n'y a aucun autre nombre que 71 qui se retrouve à la fois — et seulement — sur les cartes 3, 6 et 9 (même si trouver le nombre mystère prendrait un peu plus de temps).

Jean a dit…

« UN JEU AVEC LES NOMBRES DE FIBONACCI »

Une très bonne façon didactique et agréable de faire accepter et d'apprendre facilement aux gens quelque chose de difficile et de naturellement et habituellement répugnant.

Félicitations.