samedi, janvier 24, 2009

LE CHÈQUE

[Billet de la série Jeux mathématiques, à paraître dans le prochain À Bâbord. J'espère que mon explication est claire.]

Cet étonnant petit problème est rapporté par Martin Gardner, qui assure qu’il circulait parmi les mathématiciens américains durant les années 50.

On pense tout d’abord que les données fournies ne permettent absolument pas de le résoudre; puis, en y réfléchissant bien, on s’aperçoit qu’il est parfaitement solvable tel que formulé.

Le voici :

Deux frères ont hérité d’un troupeau de moutons, qu’ils vendent tous au marché. Ils obtiennent pour chaque mouton un montant égal au nombre total des moutons vendus. On leur remet tout l’argent en billets de 10$, à l’exception d’une somme excédentaire de moins de dix dollars, qui leur est remise en pièces de 1$.

Les deux frères se partagent la somme reçue en disposant un à un et en deux piles les billets de 10$.L’opération complétée, le cadet dit à l’aîné :

— «C’est injuste. Tu as commencé la distribution sur ta pile et tu l’as aussi terminée sur ta pile : tu as donc reçu 10$ de plus que moi!»

Pour corriger en partie cette situation, l’aîné donne à son frère toutes les pièces de 1$.

Mais le cadet lui dit :

— «Tu m’as donné moins de 10$: tu me dois donc encore de l’argent».

— «Exact, répond l’aîné. Je vais donc te faire un chèque qui égalisera les montants».

De combien est ce chèque?

Solution

Selon les données du problème, on sait que si le troupeau comprenait n moutons, le prix de vente total obtenu par les deux frères a été n2 . Par exemple, s’il y avait deux moutons (n), ils ont été vendus deux dollars chacun, soit 4 dollars au total (2 2 = 4). S’il y avait 8 moutons, ils ont été vendus huit dollars chacun, soit 64 dollars au total (8 2 = 64). Et ainsi de suite.

On sait aussi que cette somme a été reçue en un certain nombre de billets de 10$, plus un excédent, payé en pièces de 1$. Mais nous avons aussi une autre information, précieuse : la façon dont a été fait le partage nous permet en effet d’assurer qu’il y a un nombre impair de billets de 10$. (L’aîné a en effet commencé le partage sur sa pile et l’a terminé sur sa pile).

Considérons à présent les carrés des chiffres de 1 à 20. Ce sont :

1 au carré = 1
2 " = 4
3" = 9
4" = 16
5" = 25
6" = 36
7" = 49
8" = 64
9" = 81
10" = 100
11"=121
12"=144
13"=169
14"=196
15"=225
16"=256
18"=324
19"=361
20"=400


Ce patron se reproduit ensuite, à l’infini : les carrés de 21, de 31, de 41 et ainsi de suite se terminent par 1; ceux de 22, 32, 42 etc. se terminent par 4; etc.

De plus, on note que certaines des dizaines de ces carrés sont pairs (25, 49, 64, 81, 100). Ces possibilités, qui se répètent aussi à l’infini, ne peuvent correspondre au montant recherché, qui comprend un nombre impair de dizaines. Les seuls carrés ayant un nombre impair de dizaines sont ceux qui se terminent par 6 (16, 36, 196, 256, etc.)

Conclusion? Le montant reçu doit donc nécessairement se terminer par 6. On sait de la sorte qu’il y avait ou 6 ou 14, ou 16, ou 24, ou 26, etc. moutons dans le troupeau : mais cela est sans importance. Tout ce qu’il importe de savoir pour résoudre la question posée — qui ne concerne ni le nombre de moutons vendus, ni le montant total de la vente — c’est que le montant reçu se terminait pas 6 — autrement dit, que les deux frères ont reçu six pièces de 1$.

Après que le premier partage, celui des billets de 10$, a été fait, l’aîné a donc remis à son cadet qui s’était plaint ces 6 pièces de 1$. Le cadet s’est évidemment plaint de nouveau: il avait reçu quatre dollars de moins que son aîné.

Pour combler cet écart, l’aîné a donc fait à son cadet un chèque de….

Bien des gens répondent ici 4$. Mais, pensez-y bien : la réponse est 2$.

8 commentaires:

Anonyme a dit…

Bonjour,
Confusion de l'écriture du carré n2. Cette remarque peut vous sembler bête.

Mais je connais une personne qui a passé 15min sur cette confusion qui pour elle etait une incohérence, je cite : "mais 8 2 donne 16 et non 64, j'en suis sûr. Si le prix unitaire est égale au nombre de mouton le prix total est n.n ou au carré et non n2 ; là aussi j'en suis sûr ! ". Oubliant la norme d'écriture du coefficient devant l'inconnue ou le paramètre(n avec deux comme coeff s'écrit 2n et non n2), là suite devient confuse.

Normand Baillargeon a dit…

Bonjour,Merci de votre commentaire. Ceci aussi vous semblera bête, mais, hélas, je ne sais pas comment mettre un exposant sur ce blogue.

Normand

Anonyme a dit…

Bonjour M. Baillargeon,

Rien de plus simple pour écrire l'exposant au carré.

Vous tapez le "n" et ensuite vous tapez et gardez enfoncée la touche "alt" et ensuite vous tapez +0178 et ensuite vous relâchez la touche "alt".

Ça donne ceci: n²

Et voilà!

Anonyme a dit…

Oh! et si vous voulez l'exposant au cube c'est: +0179

Serge

Normand Baillargeon a dit…

@anonyme: Merci beaucoup. Je saurai à l'avenir.

Normand B.

Tournicoton a dit…

Peut-on formaliser la propriété des séries de carrés ? Est-ce que ça a été fait ? Parce que si ce n'est pas le cas, la conclusion n'est pas très rigoureuse...

Francis a dit…

Effectivement, il faudrait prouver pour tout n entier que si son carré contient un nombre impair de dizaines, alors le nombre d'unités est de 6. On peut le vérifier jusqu'à 10 facilement, jusqu'à beaucoup avec une simple feuille de calculs, mais ça ne constitue pas une preuve (parlez-en à la dinde inductive!)

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