ALEPH ZÉRO ET ALEPH 1

Qui cherche l'infini n'a qu'à fermer les yeux.
Milan Kundera

Le concept d’infini n’a cessé de fasciner métaphysiciens, philosophes, théologiens, mathématiciens et bien d’autres personnes encore. Mais c’est un concept qui présente de redoutables problèmes, des problèmes devant lesquels il est bien difficile d’échapper à cet effroi que Blaise Pascal, en une formule célèbre, disait ressentir justement devant «le silence éternel des espaces infinis». Zénon, Aristote et Galilée, notamment, ont mis en évidence certaines des immenses difficultés et des étonnants paradoxes auxquels conduit le concept d’infini.

C’est ainsi que Galilée, dans son Discours concernant deux sciences nouvelles (1638), avait noté que l’on pouvait, bien étrangement, faire correspondre un à un les entiers naturels et leurs carrés.

Par exemple :

1 – 1
2 - 4
3 - 9
4 - 16
…

Remarquant par là que la totalité des entiers naturels est infinie mais que la totalité des carrés, qui en est un sous-ensemble, l’est aussi, le physicien et mathématicien Italien avait suggéré que des propriétés comme «égal», «plus grand» et «plus petit» ne s’appliquent qu’aux quantités finies — et non aux quantités infinies.

Ce n’est qu’avec les travaux du mathématicien Georg Cantor (1845-1918), créateur de la théorie des ensembles, qu’une étude rigoureuse du concept d’infini est devenue possible. Les travaux de Cantor ont conduit à établir de nombreux résultats importants, mais aussi violemment contre intuitifs. Nous n’aborderons ici qu’un tout petit aspect de ce vaste travail, à savoir la distinction entre l’infini dénombrable et l’infini indénombrable. C’est que ce résultat, outre qu’il s’est avéré d’une grande importance en mathématiques, s’obtient par des preuves qui sont à la fois ingénieuses et élégantes et qui ont de plus, ce qui ne gâche rien, le mérite de pouvoir être comprises par tout le monde.

Un ensemble sera dit «infini dénombrable» s’il est possible de mettre en correspondance terme à terme ses éléments et ceux des entiers naturels. Un ensemble sera dit «infini indénombrable» si ses éléments ne peuvent pas être mis dans une telle correspondance.

L’ensemble des carrés, comme on l’a vu, est infini dénombrable; mais c’est aussi le cas de l’ensemble des multiples de 2, de 13, de 17 ou de ce que vous voulez, qui ont aussi la cardinalité (c’est-à-dire leur «nombre d’éléments») de l’infini dénombrable.

Pour le constatez, considérez les multiples de 13. On aura :

1 – 13
2 – 26
3 – 39
4 - 52
…
CQFD!

Cependant, considérez cette fois l’ensemble des nombres rationnels — les fractions. Est-ce un infini dénombrable? En d’autres termes, peut-on mettre ses éléments en correspondance terme à terme avec les entiers naturels? Cantor montre que oui en imaginant une ingénieuse manière de dresser la liste des nombres rationnels sans en oublier aucun et de leur faire correspondre les entiers naturels. Pour y arriver, on considérera la somme du dénominateur et du numérateur d’un nombre rationnel. Nous en trouvons un seul dont la somme soit 2, à savoir 1/1. Nous lui associons 1. Nous considérons ensuite les fractions dont la somme est 3 : nous en avons cette fois deux, qui sont 1/2 et 2/1, et nous leur faisons respectivement correspondre 2 et 3. Trois fractions donnent 4 : ce sont 1/3, 2/2 et 3/1. Nous associons 4 à la première; ignorons la deuxième, déjà prise en compte, puisque sa valeur est 1, comme 1/1; et associons 5 à la troisième.

Si nous poursuivons cette association, nous aurons ce que présente le tableau suivant, qu’on pourra prolonger autant qu’on voudra avec la certitude qu’à tout élément de l’ensemble des rationnels sera associé, terme à terme, un élément des entiers naturels. Conclusion? Cet ensemble est infini dénombrable!



Cantor propose de désigner par (lire : Aleph zéro, aleph étant la première lettre de l’alphabet hébreu) la cardinalité des entiers naturels ou des nombres rationnels. On pourrait penser qu’on en resterait là. Mais Cantor va montrer qu’il existe une infinité d’infinis!

La première étape de cette démonstration consiste à établir l’existence d’un premier infini indénombrable (il sera noté : et lu Aleph 1). Considérons les nombres réels et imaginons que nous dressons une liste de ces nombres. Par exemple :
4,176432496...
178,984190345...
9,670938004...
32,546201937...
6,674029250…
….

Nous allons à présent, selon le procédé de mise en correspondance terme à terme que nous connaissons bien, associer un nombre entier avec chaque nombre réel. Ce qui nous donnera par exemple ::

1 — 4,176432496...
2 — 178,984190345...
3 — 9,610938004...
4 — 32,546201937...
5 — 6,674029250…
…

Encore un infini dénombrable, pensez-vous? Eh bien non. Et voici le coup de génie de Cantor qui le démontre. Nous allons en effet construire un nombre réel qui ne figure pas sur cette liste infinie en prenant pour cela le nième chiffre après la décimale du nième nombre de cette liste et en le remplaçant par le chiffre suivant. Tout cela est beaucoup plus simple que ça ne paraît. Si par exemple ce chiffre est 1, nous le remplaçons par 2; si c’est 2, par 3; et si c’est 9, par 0.

Dans l’exemple précédent, on prendra 1 (le premier chiffre après la décimale du premier nombre sur la liste) et on le remplacera par 2; puis on prendra 8 (le deuxième chiffre après la décimale du deuxième nombre sur la liste), et on le remplacera par 9; on aura ensuite, dans cet ordre : 1; puis 3; et ainsi de suite.

Cette preuve, appelée preuve par la diagonale (puisque c’est bien une diagonale que dessinent les chiffres successifs qu’on considère pour les modifier), nous permet de générer le nombre recherché, celui qui ne figure pas sur la liste. En effet, il diffère du premier nombre par sa première décimale; du deuxième par sa deuxième décimale; et du n ième par sa n ième décimale!

On ne peut donc PAS mettre en correspondance terme à terme les entiers naturels et les nombres réels : la cardinalité de ceux-ci est celle de l’infini indénombrable, que Cantor a proposé de nommer Aleph 1.

Évoquant ses travaux et démonstrations sur l’infini, Cantor, dans une lettre du 29 juin 1877, écrira à son collègue Richard Dedekind (1831-1916): «Je le vois, mais je ne le crois pas !».

On n’a aucun mal à partager ce sentiment …