DIX ÉNIGMES PHILOSOPHIQUES À MÉDITER -1

[Figure imposée, la série de dix, qui doit clore le livre d'introduction à la philosophie que j'écris. J'ai choisi des Énigmes philosophique à méditer. J'en posterai ici de temps en temps. Comme toujours, commentaires et suggestions sont les bienvenues. Le tout doit seulement être accessible et informatif.]

1. Zénon rattrapera-t-il la tortue?


Zénon! Cruel Zénon! Zénon d'Êlée!
M'as-tu percé de cette flèche ailée
Qui vibre, vole, et qui ne vole pas!
Le son m'enfante et la flèche me tue!
Ah! le soleil . . . Quelle ombre de tortue
Pour l'âme, Achille immobile à grands pas
Paul Valéry
(Le cimetière marin)

On ne sait que peu de choses de Zénon d’Élée (vers 490 – vers 425), mais ce que nous en savons donne à penser qu’il possédait une intelligence absolument remarquable.
Zénon était un disciple de Parménide et on lui doit divers arguments extrêmement ingénieux visant à soutenir les doctrines de son maître sur l’impossibilité et le caractère illusoire du mouvement, du changement et de la pluralité. Plus précisément, Zénon, pour défendre ces idées, mettra de l’avant de troublants paradoxes (Proclus lui en attribue 40, dans un traité hélas perdu) destinés à montrer que nos intuitions de ces choses (mouvement, changement, pluralité), que lui et Parménide nient, sont, et pour cause, incohérentes.
Ces paradoxes n’ont depuis lors cessé de fasciner et de préoccuper des philosophes et des scientifiques. Certains d’entre eux, qui concernent le mouvement, ont exercé une profonde influence sur le développement des mathématiques. Ils nous sont connus par la discussion que leur consacre Aristote dans sa Physique et on les désigne par les noms suivants : La Dichotomie, Le Stade, La Flèche et Achille et la Tortue.
Nous allons ici nous intéresser à ce dernier, sans doute le plus célèbre, qui est présenté comme suit par Aristote: «[…] le plus lent à la course ne sera jamais rattrapé par le plus rapide; car celui qui poursuit doit toujours commencer par atteindre le point d’où est parti le fuyard, de sorte que le plus lent a toujours quelque avance.»
Que comprendre par cela ? La tradition utilise pour l’expliquer l’exemple d’une course entre Achille et une tortue.
Achille, le héros aux pieds légers, est, on le sait, de tous les Grecs, le plus rapide coureur. Une course est néanmoins organisée entre lui et la lente tortue. Beau joueur, Achille donne à la tortue une avance. Voilà les données de base du paradoxe.
Supposons pour simplifier qu’Achille avance d’un mètre à la seconde et que la tortue avance deux fois moins vite.
Appelons A le point d’où part Achille et B le point d’où part la tortue. La course commence et bien vite, très exactement en 1 seconde, Achille est parvenu au point B. La tortue, pendant ce temps, a avancé de .5 mètres et se trouve au point C, au moment où Achille arrive au point B, et elle est donc toujours en avance (mais moins grande) sur le héros. La course continue. Achille parvient très vite à ce point C. Mais il lui a fallu du temps pour ce faire et pendant ce temps, la tortue, elle aussi, a avancé. La voici au point D, qu’Achille rejoint très, très rapidement, sans doute : mais ce trajet lui demande néanmoins un certain temps, durant lequel la tortue est parvenu au point E. Et le raisonnement se poursuit de la sorte, infiniment : et c’est pourquoi, conclut Zénon, Achille ne pourra jamais, dans une course, rattraper une tortue à laquelle il a consacré une longueur d’avance.
Tout le monde sait bien qu’Achille rattrapera la tortue : le problème n’est pas là, mais bien dans le fait d’indiquer où se trouve l’erreur dans le raisonnement de Zénon
Zénon suggère que les distances qui séparent Achille de la tortue s’amenuisent sans cesse, mais qu’après chaque nouvelle étape de la course (durant laquelle Achille parvient au point où était la tortue à l’étape précédente), il lui reste toujours une nouvelle distance, aussi petite soit-elle, à parcourir, une distance qui correspond à celle parcourue par la tortue durant le même temps pris par Achille pour parvenir au point où elle se trouvait : Achille ne parviendra donc jamais à rattraper la tortue, qui reste toujours en avance sur lui d’une distance donnée — qui va s’amenuisant, mais qui n’est jamais entièrement abolie.
Le paradoxe a inspiré bien des développements en logique, en mathématiques et en physique et certains d’entre eux peuvent expliquer ce qui nous paraît d’abord à ce point paradoxal et contre-intuitif dans le raisonnement de Zénon.
Achille parcourt d’abord une unité, c’est-à-dire le mètre qui le conduit au point B. Puis une demie unité, qui le mène au point C. Puis un quart d’unité, qui l’amène au point D. Et ainsi de suite
Dans le langage des mathématiques modernes, la distance qu’il parcourt s’exprime comme suit:
1+ 1/2+ 1/4+ 1/8+1/16+ 1/32 …+ 1/2n + …
Zénon, on l’a vu, pense qu’on n’en finira jamais. Mais les mathématiques modernes suggèrent que nous nous trouvons ici devant une série convergente dont la limite est 0. Ces deux idées — série convergente avec limite et zéro — étaient inconnues des Grecs anciens et ont profondément entravé leur capacité à répondre à Zénon.
Mais cette explication ne satisfait pas tout le monde et certains rappellent que cette série tend vers sa limite, mais sans jamais l’atteindre : ce qui était précisément ce qu’affirmait Zénon.