JOUONS AVEC π

[Paru dans la revue de philosophie Médiane]

Tout le monde a gardé le souvenir de ce vieil ami d’enfance appelé Pi et noté : π.

Il s’agit, en fait, de la seizième lettre de l'alphabet grec, la première de l’écriture grecque du mot périmétros. C’est Leonhard Euler (1707 - 1783) qui a popularisé son usage en mathématiques, vers 1737.

On se souvient certainement aussi des deux formules suivantes, qui le font intervenir:

• Le périmètre d’un cercle de rayon R, qui est donné par: 2 π R
• L'aire du disque délimité par un cercle de rayon R, qui est donnée par: π R 2

C’est avec π que je vous propose de jouer cette fois. Et pour commencer en douceur, voici une question toute simple :

Que désigne π, exactement?

[Vérifiez votre réponse avant de poursuivre]

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Comprendre ce que désigne π permet de jouer à un amusant petit jeu.

Il s’agit de demander à vos amis d’évaluer ce qui sera le plus long : le périmètre d’un verre donné, ou sa hauteur. Sauf très rare exception, tous les verres que vous considérerez auront un diamètre supérieur à leur hauteur; mais vos amis auront en général bien du mal à en juger. Vous pourrez alors leur montrer qu’ils se trompent en entourant d’une ficelle le tour du verre, puis en rapportant cette longueur à sa hauteur.

Vous aurez compris qu’on peut aisément éviter de tomber dans le panneau simplement en se rappelant ce que désigne π : il suffira en effet de concentrer son attention sur le diamètre du verre. C’est cette longueur, mentalement multipliée par 3, 14, qui donne la longueur du périmètre : si on procède de la sorte pour l’évaluer, le diamètre du verre apparaît alors, à l’évidence, supérieur à sa hauteur.

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Historiquement, différentes cultures ont attribué diverses valeurs à π. On lit par exemple dans la Bible (Chroniques 4 :2) : «Puis Il coula la Mer en métal fondu, de dix coudées de bord à bord, à pourtour circulaire, de cinq coudées de hauteur; un fil de trente coudées en mesurait le tour». À considérer ce texte, π vaudrait 3, ce qui est un peu gênant pour les promoteurs de la thèse de la vérité littérale de la Bible!

Pour les Babyloniens, π valait 25/8; pour les Grecs, 22/7; pour les Égyptiens et les Indiens: √10, soit 3, 162…; pour les Chinois 355/113 — ce qui est remarquable puisque juste jusqu’à la sixième décimale!

Les mathématiciens (ou mathématiciennes, qui sait?) de toutes ces anciennes cultures auraient pu se tenir fièrement devant les législateurs de l’État d’Indiana, aux Etats-Unis : ceux-ci faillirent en effet adopter en 1897 le House Bill No. 246 qui établissait la valeur de π à 3!

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On connaît aujourd’hui plus de mille milliards de décimales de π! Ce résultat remarquable a été obtenu par l’équipe japonaise du professeur Kanada.

L’établissement de ces décimales est utile dans quelques secteurs des mathématiques et constitue en outre un excellent test de la puissance et de la fiabilité des ordinateurs. Mais leur calcul présente également un défi intéressant en soi, à cause de algorithmes qui doivent être conçus et mis en oeuvre. Ceci dit, tenir π pour égal à : 3, 14159 est en pratique suffisamment précis pour tous nos calculs.

Mais si on veut se rappeler des décimales de π, il existe un amusant — et bien connu — truc mnémotechnique pour ce faire. Il s’agit d’un poème, dont je donne ci-après le début. Dans ce texte, chacun des mots comporte un nombre de lettres correspondant aux chiffres successifs qui composent π:

Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages.
Immortel Archimède, artiste ingénieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur
Pour moi ton problème eut de sérieux avantages
[…]

On a ici :

Que= 3
J’= 1
Aime= 4
À= 1

Et ainsi de suite. Ce qui donne :

3, 141592653589793238462643383279 …

Mais une des manières les plus insolites de retrouver π a été proposée par le Comte de Buffon (1708-1788). La voici.

On a un plan horizontal sur lequel on a tracé des droites parallèles distantes d’une longueur déterminée d. Laissons maintenant tomber aléatoirement un grand nombre de fois une aiguille de longueur d sur ce plan. Buffon, si on en croit la légende, avait mené son expérience dans un restaurant en lançant par-dessus son épaule des baguettes de pain d’une longueur égale à celles des carreaux du plancher.

Quoiqu’il en soit, on démontre que la probabilité qu’une aiguille touche une droite est : 2/ π. De sorte que si vous laissez tomber une aiguille dans les conditions données et comptez le nombre de fois où l’aiguille a traversé les droites, vous saurez que π est (approximativement) égal à :

2 X (nombre de lancers)/(nombre de lignes touchées)

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Voici pour finir un curieux petit problème au résultat contre intuitif.

Imaginez qu’un câble enserre solidement la Terre à l’équateur, en son plus grand diamètre. Convenons que ce câble mesure 40 000 kilomètres. On décide de desserrer un peu ce lien et de faire en sorte que le câble soit désormais, partout, à un mètre de la surface de la Terre. De combien faudra-t-il rallonger la corde pour obtenir ce résultat?

Donnez d’abord une réponse intuitive; puis, en vous rappelant que ce problème peut être résolu avec la formule 2 π R citée plus haut, faites le calcul!


Les réponses

Que désigne π?

π désigne le rapport constant entre le périmètre d’un cercle (i.e. la longueur de sa circonférence) et son diamètre (qui est le double de son rayon).

En d’autres termes, et pour que ce soit bien clair : entourez un disque d’une corde : vous avez son périmètre. Passez ensuite une autre corde en son centre : vous avez son diamètre. Déposez cette corde au sol. Ouvrez ensuite la corde du périmètre, faites-en une droite et déposez là au-dessus de la corde du diamètre : elle est π fois plus grande que la corde du périmètre.


La ficelle autour de la Terre

Il suffira de la rallonger de … 6, 28 mètres. C’est tout et ce sera suffisant.

Pour le comprendre, revenons à notre formule permettant de calculer le périmètre d’un cercle. Ce que nous cherchons, c’est la différence entre le périmètre d’un cercle C1 et celui d’un cercle C2, dont les rayons diffèrent de 1 mètre. Appelons le rayon du premier cercle r1; celui du deuxième, r2. On sait en outre que: r2 = r 1 + 1 mètre.

Nous voulons connaître la différence des périmètres entre les deux cercles, i.e. C2 - C1. La formule du périmètre d’un cercle est 2 π r. Nous recherchons donc : 2 π r 2 - 2 π r 1.

Or :
2 π r 2 - 2 π r 1 = 2 π (r1 - r2)

Mais : r1 - r2 = 1

Donc : 2 π r 2 - 2 π r 1 = 2 π

Ce qui revient à 2 x 3, 14 = 6, 28

Il suffira donc bien d’allonger la corde de 6, 28 mètres!