HUMOUR ET MATHÉMATIQUES (2/3)

Humour et mathématiques : quelques observations générales

Je m’inspirerai essentiellement ici de remarques faites par Paulos, l’auteur de l’ouvrage évoqué plus haut.

Celui-ci suggère d’abord, ce qui est incontestable, que mathématiques et humour sont des formes de jeu intellectuel ou de jeu de l'esprit.

Certes, ajoute-t-il, la dimension intellectuelle est plus importante en mathématiques et la dimension ludique plus importante dans l'humour. Mais il y a bien néanmoins une dimension ludique dans les mathématiques (on imagine sans trop de mal le mathématicien ayant formulé une axiomatique et dérivant des théorèmes disant à ses collègues : «Venez jouer avec moi et voici les règles de mon jeu») et une dimension intellectuelle dans l’humour.

Paulos suggère ensuite que les énigmes et autres jeux d’esprit sont sans doute à situer quelque part entre l’humour et les mathématiques. L’idée me parait fort séduisante et l’intérêt du public pour les énigmes, qui ne s’est jamais démenti, invite à suggérer aux pédagogues des mathématiques d’avoir recours aux énigmes pour susciter l’intérêt pour leur discipline . Quoiqu’il en soit, cette suggestion de Paulos me servira de prétexte pour vous proposer, justement, une énigme mathématique.

Une énigme

Georges Pérec, cet étonnant personnage dont nous ferons plus loin la connaissance, a tenu un temps une rubrique de jeux dans une revue.
Un des jeux qu’il y proposait consiste à retrouver les 10 premiers chiffres (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) en utilisant 5 fois — et seulement 5, pas plus pas moins — le même chiffre et des symboles mathématiques courants.
Par exemple, avec cinq 4, on pourra avoir :
…
4 + 4 + 4 – 4 = 8 /4 = 2
44/4 - 4 -4 = 3
4 + 4 + 4 – 4 - 4 = 4
…
Je vous laisse compléter l’exercice. Vous pourrez ensuite chercher à trouver les chiffres de 1 à 10 avec, cinq 2, cinq 3, et ainsi de suite.
En faisant de tels problèmes, il vous viendra à l’idée d’allonger la liste des symboles utilisés. En plus des quatre opérations de base, vous en viendrez à avoir recours aux exposants (3 3 vous donne ainsi avec seulement deux 3 un 27 qui peut être commode) ou encore les racines carrées.
Mais on ne pense pas spontanément à utiliser les factorielles. Petit rappel. La factorielle d'un entier naturel n est notée n! (et on lit : « factorielle de n »). Elle est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. En termes clairs 3! est égal à : 3 x 2 x 1 , soit 6. Quant à 4! , cela vaut : 4 x 3 x 2 x1 , soit 24.
Voici un problème plus complexe que les jeux de Pérec et qui exige, justement, qu’on utilise les factorielles. Il s’agit de retrouver 20 avec seulement trois 3 et les symboles mathématiques usuels. La solution n’est pas facile, même quand on sait, comme c’est votre cas, qu’il faut ajouter les factorielles à notre arsenal de symboles.



La solution est donnée à la fin de cet article.

***
Le groupe Oulipo, auquel appartenait justement Pérec, nous permettra d’approfondir cette idée d’une dimension ludique commune au jeu sur les formes et les contraintes pratiqué tant dans les mathématiques qu’en l’humour.

Humour, littérature et mathématiques : Oulipo

Oulipo est l’abréviation de : Ouvroir de littérature potentielle, un groupe fondé en 1960 par deux Français, l’écrivain Raymond Queneau (1903-1976) et le mathématicien François le Lionnais (1901-1984).

L’Oulipo s’est explicitement proposé comme objet d’étude les contraintes formelles mises en œuvre dans les différents genres littéraires. Les mathématiques n’ont cessé d’occuper une grande place dans les travaux du groupe : celles-ci, comme l’a rappelé le Lionnais, et « plus particulièrement les structures abstraites des mathématiques contemporaines — nous proposent mille directions d’exploration, tant à partir de l’algèbre (recours à de nouvelles lois de composition) que de la topologie (Considérations de voisinages, d’ouvertures ou de fermetures de textes»).

Un tel obejt d’étude ne peut surprendre que de prime abord : car le fait est qu’après tout, depuis les acrostiches jusqu’aux douze pieds des alexandrins, en passant par le découpage des romans en chapitres ou de pièces en actes, la littérature n’a jamais cessé d’être affaire de constructions (et de déconstructions) de contraintes, finalement toutes plus ou moins artificielles. Et c’est ainsi que l’Oulipo travaillera dans deux grandes directions.

La première, analytique, cherche à identifier les contraintes, conscientes mais aussi inconscientes, mises en œuvre dans les œuvres du passé; la deuxième, synthétique, élabore de nouvelles contraintes .

Voici quelques exemples célèbres de ce travail synthétique.

Un livre étonnant

Raymond Queneau a composé dix sonnets; chaque sonnet, comme ce doit être le cas, compte 14 vers et les vers de tous les sonnets sont conformes aux règles prosodiques usuelles. Jusque là, rien qui ne soit des plus ordinaires.

Mais Queneau s’est donné d’autres contraintes : les vers de tous les sonnets riment entre eux; les sonnets présentent une certaine unité thématique et leurs vers de la continuité; ils ont en outre une même structure grammaticale.
La manière dont ces vers sont présentés dans l’ouvrage où ils figurent est très surprenante.

En effet, chacune des dix pages du livre où figure un sonnet est composée de bandelettes où est imprimé un vers du sonnet. Chacun des vers peut ainsi, par permutation des bandelettes, être remplacé par un autre vers du même rang d’un autre sonnet. On pourrait de cette manière composer … 10 14 poèmes.

Mais il faudrait y mettre le temps. Car les 10 14 poèmes que le procédé permet de générer, cela fait Cent mille milliards de poèmes (c’est le titre de l’ouvrage). Malicieux, Queneau écrit, dans le Mode d’emploi qui ouvre son étonnant ouvrage : «En comptant 45 s pour lire un sonnet et 15 s pour changer les volets, à 8 heures par jour, 200 jours par an, on a pour plus d’un million de siècles de lecture et en lisant toute la journée 365 jours par an, pour : 190 258 751 années plus quelques plombes et broquilles (sans tenir compte des années bissextiles et autres détails)».

Bref : Raymond Queneau a réussi le tour de force d’écrire le livre que personne ne lira jamais entièrement, pas même son auteur!

De quoi s’amusait Pérec

Un autre illustre membre d’Oulipo est Georges Pérec.

Né en 1936 et mort en 1982, cet écrivain français a produit une oeuvre très singulière.
Il a par exemple composé le plus long palindrome connu en français. Il existe en effet, en français comme dans les autres langues, des mots qu’on appelle parfois Janus et qui peuvent être lus indifféremment dans les deux sens. Qui vit au Québec en a probablement remarqué au moins un : LAVAL. Il en existe d’autres, mais ils sont rares : ICI, RADAR, ÉTÊTÉ, par exemple.

Si on ne se limite pas aux mots et qu’on étende aux phrases la propriété d’être réversibles, on obtient alors ce qu’on appelle des palindromes (du grec : palin; nouveau, nouvelle et dromos : course). Les palindromes sont donc des phrases qu’on peut lire à l’envers, en suivant un nouveau parcours.

En voici quelques exemples :

À révéler mon nom, mon nom relèvera.
Tel libella mal le billet.
L’âme des uns jamais n’use de mal. [Où le I de jamais se lit J dans l’autre sens]

On le voit : les palindromes sont souvent élémentaires et triviaux; et on devine aisément pourquoi : il suffit de chercher à en composer un pour mesurer les difficultés que cela présente. Pierre Pérec, lui, en a écrit un qui comprend, c’est incroyable, 1247 mots! Il faut le voir pour le croire, et vous pouvez d’ailleurs le voir ici : [http://home.arcor.de/jean_luc/Deutsch/Palindrome/perec.htm]

Un autre tour de force de Pérec — et bien des gens, avec raison, refusent absolument de le croire quand ils en entendent parler pour la première fois — est d’avoir écrit un roman tout entier sans avoir utilisé la voyelle E (on nomme un texte rédigé en excluant certaines lettres un lipogramme). Le roman s’appelle — quoi d’autre? — La disparition. Il est si bien écrit que si on ignore son étonnante caractéristique, on ne la remarque pas. Pour mesurer le formidable défi que Pérec a surmonté, essayez de simplement prononcer une seule phrase où on ne trouverait pas la voyelle E.
Pérec a ensuite récidivé, avec Les Revenentes, ainsi orthographié parce que, cette fois, il n’utilisait que la voyelle E et aucune autre! Ce procédé s’appelle l’isovocalisme.

****************************************************************************************

Autres exemples de jeux et de contraintes oulipennes


Abécédaire : Dans le texte produit, les initiales des mots successifs suivent l’ordre alphabétique.

L’anagramme et le pangramme. Le premier consiste à former un mot nouveau à partir des lettres d’un mot donné (par exemple, BROUTÉE permet de construire ÉBOUTER, OBTURÉE et REBOUTÉ); le pangramme utilise toutes les lettres de l’alphabet — ainsi du fameux : «Portez ce vieux whisky au juge blond qui fume»).

Boule de neige : Si, dans un poème, le premier vers est fait d’un mot d’une lettre, le second d’un mot de deux lettres, et le nième et dernier vers d’un mot de n lettres, on a une boule de neige de longueur n. Si le poème commence par n verset le nombre de lettres diminue à chaque vers, on a une boule de neige fondante.

Haï-kaïsation : Un bref poème (semblable à un haïku) est produit en ne gardant que la fin des vers d’un poème donné. (Un poème de Hugo devient : Ceux qui passent/ disent, s’effacent/ Quoi ! le bruit !/Quoi, les arbres !/Vous les marbres/Vous la nuit …)

Méthode S + 7. C’est une méthode de translation qui consiste à remplacer chaque substantif d’un texte donné par le septième substantif qui le suit dans un dictionnaire donné. La Cigale et la Fourmi devient ainsi : La Cimaise et la Fraction.

Il existe des dizaines de telles contraintes. Pour en découvrir d’autres, on consultera le site d’Oulipo à : [http://www.oulipo.net/contraintes]

On lira aussi avec plaisir les Exercices de style, de Raymond Queneau, dans lesquels une même banale histoire est contée selon 99 contraintes différentes, d’autant de manières différentes.

****************************************************************************************
Reprenons à présent notre exercice de rapprochement de l’humour et des mathématiques.

Dans les deux cas, suggère encore Paulos, des combinaisons d'idées et de formes sont organisées puis décomposées, en grande partie par plaisir — et ce plaisir, du moins en mathématiques pures et en humour pur — est intrinsèque à l'activité et est sa fin.
Par ailleurs, l'ingénuité et l'intelligence sont des traits distinctifs des deux activités et toutes deux ont recours à la logique, à des modèles, à des règles et à des structures — même si, en humour, la logique est souvent mise à mal; les modèles sont déformés; les règles et les structures confuses. Mais ces transformations ne sont pas arbitraires et doivent avoir du sens à un certain niveau ou en fonction d'une interprétation correcte de ces éléments — ce qui permet que soit saisi comme incongru ce que la blague raconte.

J’aimerais proposer à présent trois exemples de ces utilisations de formes en humour et en mathématique: les contrepèteries, le reductio ad absurdum et finalement les blagues par autoréférence contradictoire.


Une singulière algèbre : l’art de la contrepèterie

Les contrepèteries fournissent en effet un amusant exemple de ces jeux formels. Je suggère qu’on peut y voir une sorte d’algèbre verbale où des variables sont permutées pour produire de nouvelles équations, aussi linguistiquement valides que celles dont on part. Mais commençons par rappeler de quoi il s’agit.

La contrepèterie — ou antistrophe — consiste, en les permutant, à prendre un son pour un autre dans une phrase ou une expression et à produire ainsi une nouvelle phrase. Évidemment, le sens de la phrase (ou de l’expression) se trouve alors changé et l’effet comique est produit par ce changement inattendu. Rabelais (1494-vers 1554) écrit par exemple : «Il n'y a qu'une antistrophe entre femme folle à la messe et femme molle à la fesse. »

Le mot «contrepèterie » viendrait peut-être de ce que, dans ce jeu de langage, les sons sont pris à contrepied (et pèterie renverrait alors à piéter, pied). Mais d’autres auteurs le rapportent plutôt … à péter; ils peuvent arguer pour cela de la tournure carrément vulgaire, voire scatologique, de bien des contrepèteries.
Voici un bref échantillon de contrepèteries — pour vous aider, les sons à permuter des trois premiers exemples sont en gras:

Les pédagogues ont l’air d’aimer
La Grèce Historique
Une belle thèse
Ni de fin ni de cesse
Superman a une bouille incroyable
La berge du ravin
Il court, il court le furet, le furet…

Le procédé peut rapidement devenir infiniment plus complexe et il y a des experts de la contrepèterie comme il y en a du calembour .

Le reductio ad absurdum

La chose est presque trop belle pour être vraie : il existe en mathématiques un type de preuve, très puissante et très utilisée depuis l’Antiquité, appelée Preuve par l’absurde ou Raisonnement par l’absurde! Raymond Devos, Woody Allen, Claude Meunier et tous les autres : réjouissez vous! Vous êtes en bonne compagnie!

En deux mots, et sans prétendre à trop de rigueur, ce raisonnement consiste, pour prouver la proposition P, à tenir non P pour vraie et à montrer qu’elle conduit à une conclusion dont la fausseté est établie ou qui contredit ce qu’on a admis. On conclut alors que puisque non P ne peut être vraie, P doit donc l’être. C’est par un tel raisonnement qu’Euclide a démontré l’infinitude des nombres premiers, une des plus belles et des plus élégantes preuves que je connaisse.

En humour, le déploiement de conséquences absurdes est également un procédé courant. Certes, on ne le pratique pas pour prouver un théorème, mais plutôt pour les effets comiques que l’absurdité des conséquences permet de tirer. Mais il n’est pas interdit de voir aussi, dans les absurdités comiques tirées, une invitation à méditer sur la pertinence et la plausibilité des prémisses dont l’humoriste est parti.

Brassens utilise ce genre de raisonnement par l’absurde dans certaines chansons. À l’ombre des maris, par exemple, a pour point de départ un homme qui préfère les femmes mariées; mais pas n’importe lesquelles, précise-t-il : celles dont les maris lui plaisent aussi et dont il pourra se faire un ami!

Les conséquences qu’en tire Brassens sont plus absurdes les unes que les autres (par exemple : Mais si l'on tombe, hélas! sur des maris infâmes/Certains sont si courtois, si bons si chaleureux/Que, même après avoir cessé d'aimer leur femme/On fait encore semblant uniquement pour eux) et invite dès lors à méditer sur la sagesse de cette étrange manière de choisir ses maîtresses.

Ce texte savoureux se termine ainsi — Brassens parle d’une maîtresse mariée qui l’a laissé tomber:

À l’ombre des maris (extrait)

Non contente de me déplaire, elle me trompe,
Et les jours ou, furieux, voulant tout mettre à bas
Je crie : "La coupe est pleine, il est temps que je rompe!"
Le mari me supplie : "Non ne me quittez pas!"

Et je reste, et, tous deux, ensemble on se flagorne.
Moi, je lui dis : "C'est vous mon cocu préféré."
Il me réplique alors : "Entre toutes mes cornes,
Celles que je vous dois, mon cher, me sont sacrées."

Et je reste et, parfois, lorsque cette pimbêche
S'attarde en compagnie de son nouvel amant,
Que la nurse est sortie, le mari à la pêche,
C'est moi, pauvre de moi! qui garde les enfants.

***
J’en viens à présent à mon dernier exemple de similitude formelle entre humour et mathématiques, qui rapproche cette fois le paradoxe du mathématicien de son proche cousin : la blague par auto-référence contradictoire de l’humoriste.

«Je mens!»

J’ai évoqué plus haut (note 7) la crise des fondements qui afflige les mathématiques au début du XXe siècle. Cette crise tient en partie à la découverte de contradictions ou paradoxes au sein de la théorie des ensembles.

Ceux-ci sont trop techniques pour être exposés ici, mais Bertrand Russell, qui en a découvert un fameux, en a donné une version amusante et accessible. Imaginez un pays où le barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes et rien qu’eux. Rien ici de saugrenu. Mais considérez la question suivante : notre barbier doit-il ou non se raser lui-même? L'esprit, immanquablement, trébuche devant le paradoxe qui conduit à répondre que si oui, non et si non, oui! (Si elle vous a échappé, vous pouvez ici relire la réponse de Russell quant aux motivations de la poule qui traverse la rue…)
Ce paradoxe est au fond le même que celui qui consiste à affirmer : «Je mens». Et le procédé est à la source de bien des blagues. Voyez plutôt.

Blagues par auto-référence contradictoire

Des problèmes avec les mathématiques?
Appelez :
1-800-[(10x)(13i)^2]-[sin(xy)/2.362x].

***
Le saviez-vous? 87, 22369% des données statistiques prétendent parvenir à un degré de précision que les méthodes utilisées ne permettent pas de garantir.
***
— Je n’accepterais jamais d’être membre d’un club qui voudrait de moi comme membre.
—Tels sont mes principes : et si vous ne les aimez pas, j’en ai d’autres.
— «La clé du succès dans la vie, c’est l’honnêteté et la loyauté : si vous parvenez à simuler ça, vous avez gagné!»
(Groucho Marx)
***
Le sondeur : — Connaissez-vous le degré d’ignorance et de désintérêt du public pour les affaires publiques? Qu’en pensez-vous?
Le sondé : — Je l’ignore et je m’en fous.
*
Mais les rapprochements suggérés par Paulos ne s’arrêtent pas là. Rappelons-en quelques autres avant de présenter son interprétation de l’humour inspirée des mathématiques.

Mathématiques et humour sont encore caractérisés par une économie de moyens et vont (idéalement) explicitement au but. De la même manière que la beauté d'une preuve en mathématiques tient en grande partie à son élégance et à sa brièveté, une blague réussie est «punchée» et va directement au but, sans détails inutiles ou superflus et n’est même bonne qu’à cette condition, nécessaire — mais bien entendu non suffisante.
Ces qualités se retrouvent dans ce «Ah!Ah!» de la compréhension d'une belle preuve ou d'une bonne blague. La chute d'une preuve et celle d'une blague sont en ce sens comparables.
***
Comme je l’ai annoncé, je vais terminer cet article en rappelant une idée avancée par Paulos qui suggère que les mathématiques peuvent aider à comprendre ce qui se produit quand nous rions.


Je note au passage qu’un inventaire des formes des blagues me paraît depuis longtemps une entreprise possiblement intéressante. Sa meilleure retombée serait de dégager les «moules» de procédés humoristiques et, pourquoi pas?, des mécanismes de leur génération, pavant ainsi peut-être la voie à l’identification de quelques «algorithmes de l’humour».