jeudi, avril 09, 2009

JEUX MATHÉMATIQUES

[Pour le prochain numéro d'À Bâbord]

Voici quatre petits problèmes ne faisant appel à aucune connaissance mathématique avancée, mais qui vous réservent des moments de plaisir.

1. Les dates sur les deux cubes

En 1957, John Singleton a fait breveter une sorte de calendrier bien particulier. Il est composé de deux cubes sur les faces desquels sont inscrits des chiffres. Avec ces deux cubes, qu’on peut placer dans l’ordre qu’on veut, il est possible d’indiquer la date de n’importe quel jour, de 01 à 31.

La question est évidemment : quels chiffres sont inscrits sur les faces des deux cubes?

En réfléchissant à ce problème, vous arriverez à la conclusion que certains chiffres doivent obligatoirement figurer sur les deux cubes (lesquels?); puis, par déduction, vous penserez que le problème est impossible Or, il existe une manière, simple, inattendue, de le résoudre néanmoins. C’est ce qui a valu à Singleton un brevet.



2. Total? 100

Henry Ernest Dudeney (1857-1930) a été le plus grand inventeur britannique de casse-tête numériques et logiques de son époque. On lui doit l’énigme qui suit.

Considérez la suite de chiffres suivante:
1 2 3 4 5 6 7 8 9

On vous demande de placer trois et seulement trois symboles mathématiques usuels entre ces chiffres de manière à ce que le résultat donne 100.

On pourra utiliser plus d’une fois le même symbole, mais il ne faudra utiliser que trois symboles au total.

Pour que ce soit clair, voici un exemple :
12 + 34 + 56 – 789 = - 687

On est bien loin du compte; mais on n’a utilisé que trois symboles (=, = et -).

À vous de jouer!

3. Total? 24

Comment pouvez-vous arriver à 24 en utilisant une fois et une seul les chiffres 5, 5, 5, et 1 et en n’utilisant que le quatre opérations?

En travaillant ce problème, prenez soin de ne pas vous imposer des contraintes qui ne s'y trouvent pas .

4. Combien d’œufs?

Si huit cents poules pondent en moyenne huit cents œufs en huit jours, combien d’oeufs pondent quatre cents poules en quatre jours?

21 commentaires:

rukin a dit…

Concernant les deux cubes: il me semble que seuls les 1 et 2 doivent être présents deux fois (à cause de 11 et 22 qui sont inclus dans l'intervalle [01..31]). Donc, on devrait mettre un 1 et un 2 sur chaque cube. Il reste donc deux fois quatre faces de libre sur les deux cubes. Les huit chiffres restants (0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) devraient pouvoir être répartis sur les huit faces libres au hasard. Me trompe-je ?

Normand Baillargeon a dit…

Bonjour, Rukin: Deux 1 et deux 2, c"est exact, pour les raison qeu vous dites.

Mais il vous faudra aussi deux 0. Si vous n'en avez qu'un, l'autre cube, qui a déjà un 1 et un 2, ne pourra recevoir que quatre autres chiffres: disons, 3, 4, 5, et 6: vous ne pourrez donc écrire 06, 07, 08, 09.

À vous de jouer.

Normand

rukin a dit…

Ah... j'y suis! le 6 et le 9 n'apparaissent jamais ensemble. Il me suffit donc de six faces libres pour: 3, 4, 5, 6 ou 9, 7 et 8. Là, ça doit le faire :)

Normand Baillargeon a dit…

Yeah! Le 6 peut faire le 9. Bravo.

Normand

rukin a dit…

Merci pour ces jeux que je ne m'attendais pas à trouver sur ce blog ... et merci aussi pour l'aide :)

Accent Grave a dit…

Problème no 1:

Premier cube: 0,1,2,3,4,5
Second cube: 0,1,2,6,7,8

Le 6 inversé fera aussi un 9.


Problème no 2:

123 + 45 - 67 + 8 - 9 = 100


Problème no 4:

Réponse = 0.

Je comprends qu'il faut 8 jours à chaque poule pour pondre un oeuf.


Accent Grave


Note:

Pour le no 3, pas certain de bien comprendre la question. Faut-il absolument employer les 4 opérateurs + - / * et une fois chacun des chiffres 5,5,5 et 1?

toutankh a dit…

Pour le problème 2 la solution d'Accent grave utilise un signe de trop.
123 - 45 - 67 + 89 = 100

Le problème 4 est relativement connu ! Et tout le monde tombe systématiquement dans le piège :) Commencer par se demander combien d'oeufs pondent 800 poules en 4 jours ( ou 400 poules en 8 jours).

Je suis curieux de voir la solution au problème numéro 3 (l'indice donné ajoute un facteur de stress, car on se demande quelle contrainte on peut bien s'imposer, c'est diabolique)

rukin a dit…

En base 6, le nombre 24 vaut 2*6+4 soit 16 en base décimale.

Donc 5+5+5+1 pourrait faire l'affaire.

Là, la contrainte qu'on s'impose de façon implicite c'est de raisonner dans le cadre du système décimal.

paplouf a dit…

Pour trouver 24 avec 5,5,5 et 1, il n'y a qu'à cliquer ! (Bon OK c'est pas très élégant, mais ça marche)

Mato a dit…

Pour le problème numéro 3 :
5*5-1=24

l'énoncé ne dit pas que l'on doit utiliser tous les chiffres ;)

Accent Grave a dit…

Toutankh,

En ce qui concerne le problèeme no.2.

N'était-il pas stipulé qu'un même symbole pouvait être employé plus d'une fois?

Je n'utilise que trois symboles.

Accent Grave

Accent Grave a dit…

En ce qui concerne les poules, le commentaire de Toutankh me titille.

Un oeuf peut-il pondre une poule? Sans l'intervention d'un coq bien sûr.

Dans ce cas, ma réponse resterait 0!

Vite, la réponse s.v.p., je veux chasser cette énigme de ma tête.

Accent Grave

rukin a dit…

AMHA il manque quelques données d'ordre zoologique dans le problème des poules.

Notamment, il y a lieu de savoir si ces poules sont synchrones dans leurs pontes (elles pondent toutes au même moment) ou si, à l'inverse, elles prennent leur tour, à intervalles réguliers, devant un tapis roulant, assurant un flux d'oeufs harmonieux á la sortie du poulailler ;)

toutankh a dit…

Rukin : à propos de la ponte, l'énoncé stipule clairement qu'elles pondent *en moyenne* 800 oeufs en 8 jours. De la même façon, on peut par exemple se demander combien 400 poules vont pondre d'oeufs en moyenne en 8 jours. Puis en deux fois moins de temps, toujours en moyenne.

Toujours Rukin : en ce qui concerne le problème 3, s'l est vrai que la base 10 n'est pas explicitement citée comme pré-requis, il n'est pas non plus explicitement dit qu'il est interdit de toucher aux axiomes (mais c'est implicite dans "les 4 opérations" je pense). On peut ainsi ne pas s'imposer la contrainte de tenir compte des axiomes habituels de l'arithmétique, et d'en introduire un stipulant que toute opération à pour résultat 24, problème résolu. Mais je pense que c'est une autre solution qui est attendue :)

Encore Rukin : bravo pour le problème 1, je suis épaté :)

Accent grave : il est stipulé d'utiliser 3 symboles, et non 3 opérateurs. Je dirais que votre solution utilise 2 opérateurs et 4 symboles, mais je peux me tromper sur les définitions.

rukin a dit…

Bonjour toutankh,

Le problème des poules me paraît trop simple. Doit y avoir un piège qui m'échappe encore...

Et merci pour les encouragements ;)

Mathieu a dit…

4. Combien d’œufs?
Le piège dans ce problème est de faire le raisonnement simple 800 poules et 8 jours donnent 800 oeufs, alors 400 poules et 4 jours devraient donner 400 oeufs.
La solution, je crois:
800 poules / 800 oeufs = 1 oeuf par poule. 1 oeuf / 8 jours (1 oeuf réparti sur 8 jours) = 0.125 oeuf par jour.
Dès lors, on peut faire 4 jours * 0.125 oeuf par jour = 0.5. Donc, sur 4 jours, il y a 0.5 oeuf pondu par poule. Puisqu'il y a 400 poules: 400*0.5 = 200 oeufs.
Réponse: 200 oeufs.

3. Total? 24
Racine carré (RC) de 5*5 = 5
5*5=25, 25-1=24
Mieux formulé, peut-être:
RC(5*5) * 5 - 1 = 24

Accent Grave a dit…

Au sujet des poules (en chocolat?)

Tout le monde arrive à 200 oeufs. On se demande ensuite si ce n'est pas trop facile.

Je m'obstine à croire que la solution est ailleurs et que la réponse doit être précise car si on parle de «moyenne» dans l'énoncé, on ne demande pas une moyenne dans la réponse.

Je persiste et signe: 0

Accent Grave

rukin a dit…

Accent Grave: 1) Oui, 200 est une réponse qui semble à priori *très* évidente.

2) Mais la réponse 0 suppose que l'on considère chaque poule isolément au début d'un cycle de ponte dont la durée serait invariablement supérieure à quatre jours.

Hors, en faisant référence à une moyenne, l'énoncé ne nous invite-t-il pas à penser que chaque poule peut être unique dans ses comportements de ponte?

Ainsi, certaines poules pourraient pondre des oeufs à trois jours d'intervalle, ce qui mettrait à mal votre pourtant simple et brillante proposition ;-)

Accent Grave a dit…

Rukin,

200 est la réponse logique dans un problème clasique de flux (sic), à la condition que l'on recherche une probabilité mais je cherche encore le piège...

... surtout depuis que Toutankh a parlé de piège.

Je croyais l'avoir trouvé dans la sémantique de la question.

Enfin, j'ai un arbre à couper, je vais tenter de ne pas y penser.

À ce sujet...

Combien d'arbres Accent Grave peut-il couper en 4 heures?

Réponse:

Aucun, il passe trop de temps à chercher des pièges!

Accent Grave

Anonyme a dit…

Ton article et les réactions sont intéressantes
Pour ma part j'aurais aimé un ton un peu plus militant et impertinent
A bon entendeur...
Bonne continuation
http://lalignerouge.wordpress.com/

Jean-no a dit…

Oui je sais, d'autres ont trouvé, mais bon je suis content de moi : 123-45-67+89 = 100

Pour les cubes, j'ai trouvé l'astuce avant de réfléchir et le résultat pas longtemps après :-)

Un peu de sport cérébral ça fait toujours du bien