Je me demande si mon explication du phénomène est claire. Votre avis?
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Considérez les deux triangles suivants :
Celui du haut, on le voit, a été découpé en quatre figures : en haut, à droite, un petit triangle, mesurant 2 unités de haut et dont le côté mesure cinq unités; juste sous lui, un heptomino (une figure à 7 unités de surface); sous celle-ci, un octomino (une figure de 8 unités de surface); enfin, le grand triangle qui reste, qui a trois unités de haut et dont le côté mesure huit unités.
Le deuxième triangle a été composé en replaçant ces quatre morceaux. Or on peut le constater: réorganisées, elles laissent un trou d’une unité.
Problème. Il s’agit évidemment d’une illusion : mais comment fonctionne-t-elle?
L’illusion est créée par le fait qu’aucune des deux triangles n’a exactement la même surface que les parties qui le composent.
Voyons cela. On s’en souvient : on mesure la surface d’un triangle en mesurant sa base par sa hauteur, puis en divisant le résultat par 2 : (b x h/ 2) — une formule que ces triangles sur fonds quadrillés permettent d’ailleurs de bien visualiser.
Ici, on a donc: 13 x 5 / 2 = 32, 5.
Or, les carrés occupent, dans le premier triangle, comptez-le, 32 unités et dans le deuxième, 32 + 1, soit 33 unités. Comment est-ce possible?
C’est simple. En raison de leurs proportions, le petit triangle que nous avons découpé en haut à droite (rapport de 5 :2) et le deuxième, plus grand, découpé à gauche (rapport de 8 : 3) ont des hypoténuses qui ne forment pas une ligne droite. Cette courbure est minuscule (1/128 d’unité) et on ne la voit que très difficilement à l’œil nu. Pourtant, notez sur la première figure le lieu où se croisent les hypoténuses des deux triangles (le petit et le grand); puis observez le même point sur la figure du bas. Vous verrez clairement l’effet produit. Dans le premier cas, les hypoténuses e rejoignent légèrement plus bas que dans le deuxième et la ligne obtenu est courbée vers l’intérieur ou vers l’extérieur selon le cas. On voit mieux tout cela sur l’illustration suivante :
La surface que couvre l’espace entre ces deux courbes mesure exactement l’unité manquante.
3 commentaires:
C'est clair!
Vous pourriez aussi, pour illustrer encore plus la différence entre l'angle des deux petits triangles, faire un gros zoom sur l'angle formé par la jonction entre ceux-ci dans les deux cas. C'est même visible à l'oeil nu!
Merci de votre excellente suggestion. Si seulement je savais (pratiquement) comment le faire...
Normand
Bonjour,
Sans le vouloir, j'ai eu une idée dans la suite de ce qui a été dit. Si on pose le petit triangle verticalement, et qu'on le prolonge de 2 vers 3, on obtient 7.5. Si on compare ça à 8, c'est visible à l'oeil nu.
Sylvain
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