mercredi, février 06, 2008

LE CARRÉ DISPARU

Je prépare un texte pour une revue où je tiens une (brève) rubrique de jeux mathématiques. J'ai pensé parler cette fois de ces célèbres découpages de Curry.

Je me demande si mon explication du phénomène est claire. Votre avis?

***

Considérez les deux triangles suivants :



Celui du haut, on le voit, a été découpé en quatre figures : en haut, à droite, un petit triangle, mesurant 2 unités de haut et dont le côté mesure cinq unités; juste sous lui, un heptomino (une figure à 7 unités de surface); sous celle-ci, un octomino (une figure de 8 unités de surface); enfin, le grand triangle qui reste, qui a trois unités de haut et dont le côté mesure huit unités.

Le deuxième triangle a été composé en replaçant ces quatre morceaux. Or on peut le constater: réorganisées, elles laissent un trou d’une unité.

Problème. Il s’agit évidemment d’une illusion : mais comment fonctionne-t-elle?

L’illusion est créée par le fait qu’aucune des deux triangles n’a exactement la même surface que les parties qui le composent.

Voyons cela. On s’en souvient : on mesure la surface d’un triangle en mesurant sa base par sa hauteur, puis en divisant le résultat par 2 : (b x h/ 2) — une formule que ces triangles sur fonds quadrillés permettent d’ailleurs de bien visualiser.

Ici, on a donc: 13 x 5 / 2 = 32, 5.

Or, les carrés occupent, dans le premier triangle, comptez-le, 32 unités et dans le deuxième, 32 + 1, soit 33 unités. Comment est-ce possible?

C’est simple. En raison de leurs proportions, le petit triangle que nous avons découpé en haut à droite (rapport de 5 :2) et le deuxième, plus grand, découpé à gauche (rapport de 8 : 3) ont des hypoténuses qui ne forment pas une ligne droite. Cette courbure est minuscule (1/128 d’unité) et on ne la voit que très difficilement à l’œil nu. Pourtant, notez sur la première figure le lieu où se croisent les hypoténuses des deux triangles (le petit et le grand); puis observez le même point sur la figure du bas. Vous verrez clairement l’effet produit. Dans le premier cas, les hypoténuses e rejoignent légèrement plus bas que dans le deuxième et la ligne obtenu est courbée vers l’intérieur ou vers l’extérieur selon le cas. On voit mieux tout cela sur l’illustration suivante :




La surface que couvre l’espace entre ces deux courbes mesure exactement l’unité manquante.

3 commentaires:

Laurent a dit…

C'est clair!

Vous pourriez aussi, pour illustrer encore plus la différence entre l'angle des deux petits triangles, faire un gros zoom sur l'angle formé par la jonction entre ceux-ci dans les deux cas. C'est même visible à l'oeil nu!

Normand Baillargeon a dit…

Merci de votre excellente suggestion. Si seulement je savais (pratiquement) comment le faire...

Normand

Anonyme a dit…

Bonjour,
Sans le vouloir, j'ai eu une idée dans la suite de ce qui a été dit. Si on pose le petit triangle verticalement, et qu'on le prolonge de 2 vers 3, on obtient 7.5. Si on compare ça à 8, c'est visible à l'oeil nu.

Sylvain