Une théorie mathématique de l’humour
Sa suggestion est qu’une blague peut (parfois) être pensée comme proposant une axiomatique à laquelle, contrairement à ce que nous pensons d’abord, un modèle inattendu est fourni .
Deux manières d'interpréter, de voir, de comprendre des données sont alors simultanément saisies. Pour le dire plus formellement: la blague nous demande en quelque sorte dans quel modèle les axiomes X, Y et Z sont vrais. Notre réponse spontanée est : Dans N. Mais le demandeur répond: Non! Dans M! Cette théorie de l’humour est bien entendu à ranger avec les théories de l’humour comme incongruité, auxquelles elle donne une intéressante et singulière tournure.
Un exemple aidera à comprendre cette proposition.
L’éleveuse de moutons et le mathématicien
Une éleveuse de moutons désire construire un nouvel enclos d'au moins 2500 m2 et n’utiliser pour ce faire qu’au plus 200 m de clôture. On lui soumet trois propositions, l’une d’un architecte, l’autre d’un ingénieur et la dernière d'un mathématicien.
L'architecte suggère un enclos carré de 50m par côté et utilise donc les 200 m de clôture.
L'ingénieur propose quant à lui un cercle de 28,21m de rayon : il souligne qu’il obtient de la sorte un meilleur ratio entre le périmètre et l'aire, et conclut en soulignant que sa solution utilise moins de 200 m de clôture.
Le mathématicien affirme pouvoir réaliser l’enclos en n’utilisant que quelque 5 m de clôture.
L'éleveuse est convaincue qu’il est légèrement cinglé et elle est sur le point de donner le contrat à l’ingénieur quand, la curiosité l’emportant, elle téléphone au mathématicien.
Celui-ci confirme sa proposition et assure que si peu de clôture suffira : comme l’éleveuse n’a besoin que de 2 m² pour se tenir debout, explique-t-il, une clôture autour d'elle peut se construire avec aussi peu de matériel et confinera ses moutons dans un enclos d'une aire d'environ 150 Mm², soit la superficie des terres émergées de la planète.
Que signifie l’hypothèse Paulos ici?
Elle suggère qu’apprécier cette blague, c’est simultanément comprendre un problème posé dans le cadre d’une série de contraintes qui constituent une manière d’axiomatique; puis attendre une (ou, dans le cas présent, des) solution(s) possible(s) à ce problème au sein de cette axiomatique entendue d'une certaine manière; enfin, recevoir, d'abord avec étonnement puis, quasi instantanément, avec satisfaction et plaisir, une solution au problème inattendue mais qui se révèle plausible dès lors que l’on interprète différemment l’axiomatique, ce que rien n’interdisait, même si nous ne l’avons pas de prime abord aperçu .
Concrètement : il est raisonnable et attendu que, pour répondre à la question posée, l’on imagine des surfaces diverses qu’on peut clore avec 200 mètres de clôture. Mais le mathématicien répond en considérant autrement le concept d’enclos et satisfait les exigences du problèmes (i.e. les règles de l’axiomatique) d’une manière peut-être inattendue mais néanmoins conforme à ces règles.
Comprendre la blague, c’est ainsi simultanément apercevoir l’axiomatique, sa réalisation dans un modèle donné et attendu et sa réalisation dans un autre modèle, cette fois inattendu mais cohérent et tout à fait plausible dans le cadre de l’axiomatique. On aura remarqué qu’en prime cette théorie permet aussi d’expliquer pourquoi nous rions d’un jeu de mots, lequel met en oeuvre le même procédé formel. (Souvenez-vous de logarithme, qui ne paie rien…)
Revenons à l’axiomatique de Peano dont je parlais plus haut.
Sa réalisation courante, son modèle usuel, est : 0, 1, 2, 3, … à l’infini. Mais supposons, ce que rien n’interdit, que l’on interprète 0 comme 100; et successeur comme prochain nombre pair. Nous aurons un nouveau modèle de l’axiomatique de Peano : 100, 102 104, … à l'infini. Si vous avez un peu l'esprit mathématique, cela vous fera sourire, autant que la blague de l’éleveuse de moutons et, suggère Paulos, pour les mêmes raisons.
***
J’ai commencé ce texte en disant qu’il est parfois fait reproche aux mathématiciens de trouver évidentes des démonstrations que peu de gens non initiés trouvent telles. C’est bien entendu que les mathématiciens peuvent se permettre de «sauter des étapes» dans leur raisonnement. Je terminerai en arguant que ce procédé est lui aussi utilisé en humour, à toutes ces fois où l’appréciation d’une blague ou d’un trait d’humour exige de nous que nous fournissions les éléments non-dits, comme autant de prémisses qui permettent de trouver une chose drôle.
C’est ce qui se produit lorsque nous rions quand Bart Simpson écrit au tableau :
«Ininflammable n’est pas un défi».
***
Solutions des énigmes
1 = 2
L’erreur est commise à la ligne 5 : la division par zéro est effet impossible : or, a-b = 0
20 avec trois 3
On obtient 20 avec la formule : (3!) ! / (3!) x (3!).
Voyons cela de plus près.
3! Nous indique qu’on fait d’abord la factorielle de 3, ce qui nous donne : 3 X 2 X 1 = 6. Le ! qui suit nous demande de faire la factorielle de ce résultat, ce qui nous donne : 6 x 5 x 4 x 3 x2 x1 = 720.
Ce nouveau résultat est ensuite divisé par (3!) x (3!), ce qui donne 6 x 6 ou 36.
Et 720 divisé par 36 donne bien 20.
***
Pour en savoir plus :
Je ne saurais trop recommander la lecture de l’ouvrage cité de Paulos, auquel mon propre texte doit beaucoup. Paulos est un des très rares auteurs à s’être penché sur le sujet et il le fait avec une grande compétence mathématique doublée de beaucoup d’humour.
PAULOS, John Allen, Mathematics and Humor, The University of Chicago Press, Chicago and London, 1980.
Il y tente notamment un intéressant quoique périlleux rapprochement entre l’humour et la théorie mathématique des catastrophes.
Si la philosophie des mathématiques vous intéresse, je vous suggère la riche anthologie de textes réunis dans:
CHOUCHAN, Nathalie, (Éd.), Les mathématiques, Corpus, Garnier Flammarion, Paris, 1999.
Et pour des années de lecture au carrefour des mathématiques sérieuses et récréatives, tout ce que Martin Gardner a publié sur ces questions est à dévorer sans retenue.
***
Normand Baillargeon se demande parfois si la nature ne lui a pas fait une mauvaise blague en lui donnant un tel amour des mathématiques, mais sans tout le talent correspondant qui lui aurait permis d’en faire sa profession.
Il rêve depuis longtemps de trouver une nouvelle démonstration du théorème de Pythagore, mais n’y est pas encore parvenu.
Il s’en console avec ses humoristes préférés : Yvon Deschamps, Raymond Devos, Pierre Desproges, Sol, Claude Meunier et Coluche, auxquels on lui permettra d’ajouter les bédéistes Marcel Gotlib et Charb.
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samedi, juillet 25, 2009
vendredi, juillet 24, 2009
HUMOUR ET MATHÉMATIQUES (2/3)
Humour et mathématiques : quelques observations générales
Je m’inspirerai essentiellement ici de remarques faites par Paulos, l’auteur de l’ouvrage évoqué plus haut.
Celui-ci suggère d’abord, ce qui est incontestable, que mathématiques et humour sont des formes de jeu intellectuel ou de jeu de l'esprit.
Certes, ajoute-t-il, la dimension intellectuelle est plus importante en mathématiques et la dimension ludique plus importante dans l'humour. Mais il y a bien néanmoins une dimension ludique dans les mathématiques (on imagine sans trop de mal le mathématicien ayant formulé une axiomatique et dérivant des théorèmes disant à ses collègues : «Venez jouer avec moi et voici les règles de mon jeu») et une dimension intellectuelle dans l’humour.
Paulos suggère ensuite que les énigmes et autres jeux d’esprit sont sans doute à situer quelque part entre l’humour et les mathématiques. L’idée me parait fort séduisante et l’intérêt du public pour les énigmes, qui ne s’est jamais démenti, invite à suggérer aux pédagogues des mathématiques d’avoir recours aux énigmes pour susciter l’intérêt pour leur discipline . Quoiqu’il en soit, cette suggestion de Paulos me servira de prétexte pour vous proposer, justement, une énigme mathématique.
Une énigme
Georges Pérec, cet étonnant personnage dont nous ferons plus loin la connaissance, a tenu un temps une rubrique de jeux dans une revue.
Un des jeux qu’il y proposait consiste à retrouver les 10 premiers chiffres (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) en utilisant 5 fois — et seulement 5, pas plus pas moins — le même chiffre et des symboles mathématiques courants.
Par exemple, avec cinq 4, on pourra avoir :
…
4 + 4 + 4 – 4 = 8 /4 = 2
44/4 - 4 -4 = 3
4 + 4 + 4 – 4 - 4 = 4
…
Je vous laisse compléter l’exercice. Vous pourrez ensuite chercher à trouver les chiffres de 1 à 10 avec, cinq 2, cinq 3, et ainsi de suite.
En faisant de tels problèmes, il vous viendra à l’idée d’allonger la liste des symboles utilisés. En plus des quatre opérations de base, vous en viendrez à avoir recours aux exposants (3 3 vous donne ainsi avec seulement deux 3 un 27 qui peut être commode) ou encore les racines carrées.
Mais on ne pense pas spontanément à utiliser les factorielles. Petit rappel. La factorielle d'un entier naturel n est notée n! (et on lit : « factorielle de n »). Elle est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. En termes clairs 3! est égal à : 3 x 2 x 1 , soit 6. Quant à 4! , cela vaut : 4 x 3 x 2 x1 , soit 24.
Voici un problème plus complexe que les jeux de Pérec et qui exige, justement, qu’on utilise les factorielles. Il s’agit de retrouver 20 avec seulement trois 3 et les symboles mathématiques usuels. La solution n’est pas facile, même quand on sait, comme c’est votre cas, qu’il faut ajouter les factorielles à notre arsenal de symboles.
La solution est donnée à la fin de cet article.
***
Le groupe Oulipo, auquel appartenait justement Pérec, nous permettra d’approfondir cette idée d’une dimension ludique commune au jeu sur les formes et les contraintes pratiqué tant dans les mathématiques qu’en l’humour.
Humour, littérature et mathématiques : Oulipo
Oulipo est l’abréviation de : Ouvroir de littérature potentielle, un groupe fondé en 1960 par deux Français, l’écrivain Raymond Queneau (1903-1976) et le mathématicien François le Lionnais (1901-1984).
L’Oulipo s’est explicitement proposé comme objet d’étude les contraintes formelles mises en œuvre dans les différents genres littéraires. Les mathématiques n’ont cessé d’occuper une grande place dans les travaux du groupe : celles-ci, comme l’a rappelé le Lionnais, et « plus particulièrement les structures abstraites des mathématiques contemporaines — nous proposent mille directions d’exploration, tant à partir de l’algèbre (recours à de nouvelles lois de composition) que de la topologie (Considérations de voisinages, d’ouvertures ou de fermetures de textes»).
Un tel obejt d’étude ne peut surprendre que de prime abord : car le fait est qu’après tout, depuis les acrostiches jusqu’aux douze pieds des alexandrins, en passant par le découpage des romans en chapitres ou de pièces en actes, la littérature n’a jamais cessé d’être affaire de constructions (et de déconstructions) de contraintes, finalement toutes plus ou moins artificielles. Et c’est ainsi que l’Oulipo travaillera dans deux grandes directions.
La première, analytique, cherche à identifier les contraintes, conscientes mais aussi inconscientes, mises en œuvre dans les œuvres du passé; la deuxième, synthétique, élabore de nouvelles contraintes .
Voici quelques exemples célèbres de ce travail synthétique.
Un livre étonnant
Raymond Queneau a composé dix sonnets; chaque sonnet, comme ce doit être le cas, compte 14 vers et les vers de tous les sonnets sont conformes aux règles prosodiques usuelles. Jusque là, rien qui ne soit des plus ordinaires.
Mais Queneau s’est donné d’autres contraintes : les vers de tous les sonnets riment entre eux; les sonnets présentent une certaine unité thématique et leurs vers de la continuité; ils ont en outre une même structure grammaticale.
La manière dont ces vers sont présentés dans l’ouvrage où ils figurent est très surprenante.
En effet, chacune des dix pages du livre où figure un sonnet est composée de bandelettes où est imprimé un vers du sonnet. Chacun des vers peut ainsi, par permutation des bandelettes, être remplacé par un autre vers du même rang d’un autre sonnet. On pourrait de cette manière composer … 10 14 poèmes.
Mais il faudrait y mettre le temps. Car les 10 14 poèmes que le procédé permet de générer, cela fait Cent mille milliards de poèmes (c’est le titre de l’ouvrage). Malicieux, Queneau écrit, dans le Mode d’emploi qui ouvre son étonnant ouvrage : «En comptant 45 s pour lire un sonnet et 15 s pour changer les volets, à 8 heures par jour, 200 jours par an, on a pour plus d’un million de siècles de lecture et en lisant toute la journée 365 jours par an, pour : 190 258 751 années plus quelques plombes et broquilles (sans tenir compte des années bissextiles et autres détails)».
Bref : Raymond Queneau a réussi le tour de force d’écrire le livre que personne ne lira jamais entièrement, pas même son auteur!
De quoi s’amusait Pérec
Un autre illustre membre d’Oulipo est Georges Pérec.
Né en 1936 et mort en 1982, cet écrivain français a produit une oeuvre très singulière.
Il a par exemple composé le plus long palindrome connu en français. Il existe en effet, en français comme dans les autres langues, des mots qu’on appelle parfois Janus et qui peuvent être lus indifféremment dans les deux sens. Qui vit au Québec en a probablement remarqué au moins un : LAVAL. Il en existe d’autres, mais ils sont rares : ICI, RADAR, ÉTÊTÉ, par exemple.
Si on ne se limite pas aux mots et qu’on étende aux phrases la propriété d’être réversibles, on obtient alors ce qu’on appelle des palindromes (du grec : palin; nouveau, nouvelle et dromos : course). Les palindromes sont donc des phrases qu’on peut lire à l’envers, en suivant un nouveau parcours.
En voici quelques exemples :
À révéler mon nom, mon nom relèvera.
Tel libella mal le billet.
L’âme des uns jamais n’use de mal. [Où le I de jamais se lit J dans l’autre sens]
On le voit : les palindromes sont souvent élémentaires et triviaux; et on devine aisément pourquoi : il suffit de chercher à en composer un pour mesurer les difficultés que cela présente. Pierre Pérec, lui, en a écrit un qui comprend, c’est incroyable, 1247 mots! Il faut le voir pour le croire, et vous pouvez d’ailleurs le voir ici : [http://home.arcor.de/jean_luc/Deutsch/Palindrome/perec.htm]
Un autre tour de force de Pérec — et bien des gens, avec raison, refusent absolument de le croire quand ils en entendent parler pour la première fois — est d’avoir écrit un roman tout entier sans avoir utilisé la voyelle E (on nomme un texte rédigé en excluant certaines lettres un lipogramme). Le roman s’appelle — quoi d’autre? — La disparition. Il est si bien écrit que si on ignore son étonnante caractéristique, on ne la remarque pas. Pour mesurer le formidable défi que Pérec a surmonté, essayez de simplement prononcer une seule phrase où on ne trouverait pas la voyelle E.
Pérec a ensuite récidivé, avec Les Revenentes, ainsi orthographié parce que, cette fois, il n’utilisait que la voyelle E et aucune autre! Ce procédé s’appelle l’isovocalisme.
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Autres exemples de jeux et de contraintes oulipennes
Abécédaire : Dans le texte produit, les initiales des mots successifs suivent l’ordre alphabétique.
L’anagramme et le pangramme. Le premier consiste à former un mot nouveau à partir des lettres d’un mot donné (par exemple, BROUTÉE permet de construire ÉBOUTER, OBTURÉE et REBOUTÉ); le pangramme utilise toutes les lettres de l’alphabet — ainsi du fameux : «Portez ce vieux whisky au juge blond qui fume»).
Boule de neige : Si, dans un poème, le premier vers est fait d’un mot d’une lettre, le second d’un mot de deux lettres, et le nième et dernier vers d’un mot de n lettres, on a une boule de neige de longueur n. Si le poème commence par n verset le nombre de lettres diminue à chaque vers, on a une boule de neige fondante.
Haï-kaïsation : Un bref poème (semblable à un haïku) est produit en ne gardant que la fin des vers d’un poème donné. (Un poème de Hugo devient : Ceux qui passent/ disent, s’effacent/ Quoi ! le bruit !/Quoi, les arbres !/Vous les marbres/Vous la nuit …)
Méthode S + 7. C’est une méthode de translation qui consiste à remplacer chaque substantif d’un texte donné par le septième substantif qui le suit dans un dictionnaire donné. La Cigale et la Fourmi devient ainsi : La Cimaise et la Fraction.
Il existe des dizaines de telles contraintes. Pour en découvrir d’autres, on consultera le site d’Oulipo à : [http://www.oulipo.net/contraintes]
On lira aussi avec plaisir les Exercices de style, de Raymond Queneau, dans lesquels une même banale histoire est contée selon 99 contraintes différentes, d’autant de manières différentes.
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Reprenons à présent notre exercice de rapprochement de l’humour et des mathématiques.
Dans les deux cas, suggère encore Paulos, des combinaisons d'idées et de formes sont organisées puis décomposées, en grande partie par plaisir — et ce plaisir, du moins en mathématiques pures et en humour pur — est intrinsèque à l'activité et est sa fin.
Par ailleurs, l'ingénuité et l'intelligence sont des traits distinctifs des deux activités et toutes deux ont recours à la logique, à des modèles, à des règles et à des structures — même si, en humour, la logique est souvent mise à mal; les modèles sont déformés; les règles et les structures confuses. Mais ces transformations ne sont pas arbitraires et doivent avoir du sens à un certain niveau ou en fonction d'une interprétation correcte de ces éléments — ce qui permet que soit saisi comme incongru ce que la blague raconte.
J’aimerais proposer à présent trois exemples de ces utilisations de formes en humour et en mathématique: les contrepèteries, le reductio ad absurdum et finalement les blagues par autoréférence contradictoire.
Une singulière algèbre : l’art de la contrepèterie
Les contrepèteries fournissent en effet un amusant exemple de ces jeux formels. Je suggère qu’on peut y voir une sorte d’algèbre verbale où des variables sont permutées pour produire de nouvelles équations, aussi linguistiquement valides que celles dont on part. Mais commençons par rappeler de quoi il s’agit.
La contrepèterie — ou antistrophe — consiste, en les permutant, à prendre un son pour un autre dans une phrase ou une expression et à produire ainsi une nouvelle phrase. Évidemment, le sens de la phrase (ou de l’expression) se trouve alors changé et l’effet comique est produit par ce changement inattendu. Rabelais (1494-vers 1554) écrit par exemple : «Il n'y a qu'une antistrophe entre femme folle à la messe et femme molle à la fesse. »
Le mot «contrepèterie » viendrait peut-être de ce que, dans ce jeu de langage, les sons sont pris à contrepied (et pèterie renverrait alors à piéter, pied). Mais d’autres auteurs le rapportent plutôt … à péter; ils peuvent arguer pour cela de la tournure carrément vulgaire, voire scatologique, de bien des contrepèteries.
Voici un bref échantillon de contrepèteries — pour vous aider, les sons à permuter des trois premiers exemples sont en gras:
Les pédagogues ont l’air d’aimer
La Grèce Historique
Une belle thèse
Ni de fin ni de cesse
Superman a une bouille incroyable
La berge du ravin
Il court, il court le furet, le furet…
Le procédé peut rapidement devenir infiniment plus complexe et il y a des experts de la contrepèterie comme il y en a du calembour .
Le reductio ad absurdum
La chose est presque trop belle pour être vraie : il existe en mathématiques un type de preuve, très puissante et très utilisée depuis l’Antiquité, appelée Preuve par l’absurde ou Raisonnement par l’absurde! Raymond Devos, Woody Allen, Claude Meunier et tous les autres : réjouissez vous! Vous êtes en bonne compagnie!
En deux mots, et sans prétendre à trop de rigueur, ce raisonnement consiste, pour prouver la proposition P, à tenir non P pour vraie et à montrer qu’elle conduit à une conclusion dont la fausseté est établie ou qui contredit ce qu’on a admis. On conclut alors que puisque non P ne peut être vraie, P doit donc l’être. C’est par un tel raisonnement qu’Euclide a démontré l’infinitude des nombres premiers, une des plus belles et des plus élégantes preuves que je connaisse.
En humour, le déploiement de conséquences absurdes est également un procédé courant. Certes, on ne le pratique pas pour prouver un théorème, mais plutôt pour les effets comiques que l’absurdité des conséquences permet de tirer. Mais il n’est pas interdit de voir aussi, dans les absurdités comiques tirées, une invitation à méditer sur la pertinence et la plausibilité des prémisses dont l’humoriste est parti.
Brassens utilise ce genre de raisonnement par l’absurde dans certaines chansons. À l’ombre des maris, par exemple, a pour point de départ un homme qui préfère les femmes mariées; mais pas n’importe lesquelles, précise-t-il : celles dont les maris lui plaisent aussi et dont il pourra se faire un ami!
Les conséquences qu’en tire Brassens sont plus absurdes les unes que les autres (par exemple : Mais si l'on tombe, hélas! sur des maris infâmes/Certains sont si courtois, si bons si chaleureux/Que, même après avoir cessé d'aimer leur femme/On fait encore semblant uniquement pour eux) et invite dès lors à méditer sur la sagesse de cette étrange manière de choisir ses maîtresses.
Ce texte savoureux se termine ainsi — Brassens parle d’une maîtresse mariée qui l’a laissé tomber:
À l’ombre des maris (extrait)
Non contente de me déplaire, elle me trompe,
Et les jours ou, furieux, voulant tout mettre à bas
Je crie : "La coupe est pleine, il est temps que je rompe!"
Le mari me supplie : "Non ne me quittez pas!"
Et je reste, et, tous deux, ensemble on se flagorne.
Moi, je lui dis : "C'est vous mon cocu préféré."
Il me réplique alors : "Entre toutes mes cornes,
Celles que je vous dois, mon cher, me sont sacrées."
Et je reste et, parfois, lorsque cette pimbêche
S'attarde en compagnie de son nouvel amant,
Que la nurse est sortie, le mari à la pêche,
C'est moi, pauvre de moi! qui garde les enfants.
***
J’en viens à présent à mon dernier exemple de similitude formelle entre humour et mathématiques, qui rapproche cette fois le paradoxe du mathématicien de son proche cousin : la blague par auto-référence contradictoire de l’humoriste.
«Je mens!»
J’ai évoqué plus haut (note 7) la crise des fondements qui afflige les mathématiques au début du XXe siècle. Cette crise tient en partie à la découverte de contradictions ou paradoxes au sein de la théorie des ensembles.
Ceux-ci sont trop techniques pour être exposés ici, mais Bertrand Russell, qui en a découvert un fameux, en a donné une version amusante et accessible. Imaginez un pays où le barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes et rien qu’eux. Rien ici de saugrenu. Mais considérez la question suivante : notre barbier doit-il ou non se raser lui-même? L'esprit, immanquablement, trébuche devant le paradoxe qui conduit à répondre que si oui, non et si non, oui! (Si elle vous a échappé, vous pouvez ici relire la réponse de Russell quant aux motivations de la poule qui traverse la rue…)
Ce paradoxe est au fond le même que celui qui consiste à affirmer : «Je mens». Et le procédé est à la source de bien des blagues. Voyez plutôt.
Blagues par auto-référence contradictoire
Des problèmes avec les mathématiques?
Appelez :
1-800-[(10x)(13i)^2]-[sin(xy)/2.362x].
***
Le saviez-vous? 87, 22369% des données statistiques prétendent parvenir à un degré de précision que les méthodes utilisées ne permettent pas de garantir.
***
— Je n’accepterais jamais d’être membre d’un club qui voudrait de moi comme membre.
—Tels sont mes principes : et si vous ne les aimez pas, j’en ai d’autres.
— «La clé du succès dans la vie, c’est l’honnêteté et la loyauté : si vous parvenez à simuler ça, vous avez gagné!»
(Groucho Marx)
***
Le sondeur : — Connaissez-vous le degré d’ignorance et de désintérêt du public pour les affaires publiques? Qu’en pensez-vous?
Le sondé : — Je l’ignore et je m’en fous.
*
Mais les rapprochements suggérés par Paulos ne s’arrêtent pas là. Rappelons-en quelques autres avant de présenter son interprétation de l’humour inspirée des mathématiques.
Mathématiques et humour sont encore caractérisés par une économie de moyens et vont (idéalement) explicitement au but. De la même manière que la beauté d'une preuve en mathématiques tient en grande partie à son élégance et à sa brièveté, une blague réussie est «punchée» et va directement au but, sans détails inutiles ou superflus et n’est même bonne qu’à cette condition, nécessaire — mais bien entendu non suffisante.
Ces qualités se retrouvent dans ce «Ah!Ah!» de la compréhension d'une belle preuve ou d'une bonne blague. La chute d'une preuve et celle d'une blague sont en ce sens comparables.
***
Comme je l’ai annoncé, je vais terminer cet article en rappelant une idée avancée par Paulos qui suggère que les mathématiques peuvent aider à comprendre ce qui se produit quand nous rions.
Je note au passage qu’un inventaire des formes des blagues me paraît depuis longtemps une entreprise possiblement intéressante. Sa meilleure retombée serait de dégager les «moules» de procédés humoristiques et, pourquoi pas?, des mécanismes de leur génération, pavant ainsi peut-être la voie à l’identification de quelques «algorithmes de l’humour».
Je m’inspirerai essentiellement ici de remarques faites par Paulos, l’auteur de l’ouvrage évoqué plus haut.
Celui-ci suggère d’abord, ce qui est incontestable, que mathématiques et humour sont des formes de jeu intellectuel ou de jeu de l'esprit.
Certes, ajoute-t-il, la dimension intellectuelle est plus importante en mathématiques et la dimension ludique plus importante dans l'humour. Mais il y a bien néanmoins une dimension ludique dans les mathématiques (on imagine sans trop de mal le mathématicien ayant formulé une axiomatique et dérivant des théorèmes disant à ses collègues : «Venez jouer avec moi et voici les règles de mon jeu») et une dimension intellectuelle dans l’humour.
Paulos suggère ensuite que les énigmes et autres jeux d’esprit sont sans doute à situer quelque part entre l’humour et les mathématiques. L’idée me parait fort séduisante et l’intérêt du public pour les énigmes, qui ne s’est jamais démenti, invite à suggérer aux pédagogues des mathématiques d’avoir recours aux énigmes pour susciter l’intérêt pour leur discipline . Quoiqu’il en soit, cette suggestion de Paulos me servira de prétexte pour vous proposer, justement, une énigme mathématique.
Une énigme
Georges Pérec, cet étonnant personnage dont nous ferons plus loin la connaissance, a tenu un temps une rubrique de jeux dans une revue.
Un des jeux qu’il y proposait consiste à retrouver les 10 premiers chiffres (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) en utilisant 5 fois — et seulement 5, pas plus pas moins — le même chiffre et des symboles mathématiques courants.
Par exemple, avec cinq 4, on pourra avoir :
…
4 + 4 + 4 – 4 = 8 /4 = 2
44/4 - 4 -4 = 3
4 + 4 + 4 – 4 - 4 = 4
…
Je vous laisse compléter l’exercice. Vous pourrez ensuite chercher à trouver les chiffres de 1 à 10 avec, cinq 2, cinq 3, et ainsi de suite.
En faisant de tels problèmes, il vous viendra à l’idée d’allonger la liste des symboles utilisés. En plus des quatre opérations de base, vous en viendrez à avoir recours aux exposants (3 3 vous donne ainsi avec seulement deux 3 un 27 qui peut être commode) ou encore les racines carrées.
Mais on ne pense pas spontanément à utiliser les factorielles. Petit rappel. La factorielle d'un entier naturel n est notée n! (et on lit : « factorielle de n »). Elle est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. En termes clairs 3! est égal à : 3 x 2 x 1 , soit 6. Quant à 4! , cela vaut : 4 x 3 x 2 x1 , soit 24.
Voici un problème plus complexe que les jeux de Pérec et qui exige, justement, qu’on utilise les factorielles. Il s’agit de retrouver 20 avec seulement trois 3 et les symboles mathématiques usuels. La solution n’est pas facile, même quand on sait, comme c’est votre cas, qu’il faut ajouter les factorielles à notre arsenal de symboles.
La solution est donnée à la fin de cet article.
***
Le groupe Oulipo, auquel appartenait justement Pérec, nous permettra d’approfondir cette idée d’une dimension ludique commune au jeu sur les formes et les contraintes pratiqué tant dans les mathématiques qu’en l’humour.
Humour, littérature et mathématiques : Oulipo
Oulipo est l’abréviation de : Ouvroir de littérature potentielle, un groupe fondé en 1960 par deux Français, l’écrivain Raymond Queneau (1903-1976) et le mathématicien François le Lionnais (1901-1984).
L’Oulipo s’est explicitement proposé comme objet d’étude les contraintes formelles mises en œuvre dans les différents genres littéraires. Les mathématiques n’ont cessé d’occuper une grande place dans les travaux du groupe : celles-ci, comme l’a rappelé le Lionnais, et « plus particulièrement les structures abstraites des mathématiques contemporaines — nous proposent mille directions d’exploration, tant à partir de l’algèbre (recours à de nouvelles lois de composition) que de la topologie (Considérations de voisinages, d’ouvertures ou de fermetures de textes»).
Un tel obejt d’étude ne peut surprendre que de prime abord : car le fait est qu’après tout, depuis les acrostiches jusqu’aux douze pieds des alexandrins, en passant par le découpage des romans en chapitres ou de pièces en actes, la littérature n’a jamais cessé d’être affaire de constructions (et de déconstructions) de contraintes, finalement toutes plus ou moins artificielles. Et c’est ainsi que l’Oulipo travaillera dans deux grandes directions.
La première, analytique, cherche à identifier les contraintes, conscientes mais aussi inconscientes, mises en œuvre dans les œuvres du passé; la deuxième, synthétique, élabore de nouvelles contraintes .
Voici quelques exemples célèbres de ce travail synthétique.
Un livre étonnant
Raymond Queneau a composé dix sonnets; chaque sonnet, comme ce doit être le cas, compte 14 vers et les vers de tous les sonnets sont conformes aux règles prosodiques usuelles. Jusque là, rien qui ne soit des plus ordinaires.
Mais Queneau s’est donné d’autres contraintes : les vers de tous les sonnets riment entre eux; les sonnets présentent une certaine unité thématique et leurs vers de la continuité; ils ont en outre une même structure grammaticale.
La manière dont ces vers sont présentés dans l’ouvrage où ils figurent est très surprenante.
En effet, chacune des dix pages du livre où figure un sonnet est composée de bandelettes où est imprimé un vers du sonnet. Chacun des vers peut ainsi, par permutation des bandelettes, être remplacé par un autre vers du même rang d’un autre sonnet. On pourrait de cette manière composer … 10 14 poèmes.
Mais il faudrait y mettre le temps. Car les 10 14 poèmes que le procédé permet de générer, cela fait Cent mille milliards de poèmes (c’est le titre de l’ouvrage). Malicieux, Queneau écrit, dans le Mode d’emploi qui ouvre son étonnant ouvrage : «En comptant 45 s pour lire un sonnet et 15 s pour changer les volets, à 8 heures par jour, 200 jours par an, on a pour plus d’un million de siècles de lecture et en lisant toute la journée 365 jours par an, pour : 190 258 751 années plus quelques plombes et broquilles (sans tenir compte des années bissextiles et autres détails)».
Bref : Raymond Queneau a réussi le tour de force d’écrire le livre que personne ne lira jamais entièrement, pas même son auteur!
De quoi s’amusait Pérec
Un autre illustre membre d’Oulipo est Georges Pérec.
Né en 1936 et mort en 1982, cet écrivain français a produit une oeuvre très singulière.
Il a par exemple composé le plus long palindrome connu en français. Il existe en effet, en français comme dans les autres langues, des mots qu’on appelle parfois Janus et qui peuvent être lus indifféremment dans les deux sens. Qui vit au Québec en a probablement remarqué au moins un : LAVAL. Il en existe d’autres, mais ils sont rares : ICI, RADAR, ÉTÊTÉ, par exemple.
Si on ne se limite pas aux mots et qu’on étende aux phrases la propriété d’être réversibles, on obtient alors ce qu’on appelle des palindromes (du grec : palin; nouveau, nouvelle et dromos : course). Les palindromes sont donc des phrases qu’on peut lire à l’envers, en suivant un nouveau parcours.
En voici quelques exemples :
À révéler mon nom, mon nom relèvera.
Tel libella mal le billet.
L’âme des uns jamais n’use de mal. [Où le I de jamais se lit J dans l’autre sens]
On le voit : les palindromes sont souvent élémentaires et triviaux; et on devine aisément pourquoi : il suffit de chercher à en composer un pour mesurer les difficultés que cela présente. Pierre Pérec, lui, en a écrit un qui comprend, c’est incroyable, 1247 mots! Il faut le voir pour le croire, et vous pouvez d’ailleurs le voir ici : [http://home.arcor.de/jean_luc/Deutsch/Palindrome/perec.htm]
Un autre tour de force de Pérec — et bien des gens, avec raison, refusent absolument de le croire quand ils en entendent parler pour la première fois — est d’avoir écrit un roman tout entier sans avoir utilisé la voyelle E (on nomme un texte rédigé en excluant certaines lettres un lipogramme). Le roman s’appelle — quoi d’autre? — La disparition. Il est si bien écrit que si on ignore son étonnante caractéristique, on ne la remarque pas. Pour mesurer le formidable défi que Pérec a surmonté, essayez de simplement prononcer une seule phrase où on ne trouverait pas la voyelle E.
Pérec a ensuite récidivé, avec Les Revenentes, ainsi orthographié parce que, cette fois, il n’utilisait que la voyelle E et aucune autre! Ce procédé s’appelle l’isovocalisme.
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Autres exemples de jeux et de contraintes oulipennes
Abécédaire : Dans le texte produit, les initiales des mots successifs suivent l’ordre alphabétique.
L’anagramme et le pangramme. Le premier consiste à former un mot nouveau à partir des lettres d’un mot donné (par exemple, BROUTÉE permet de construire ÉBOUTER, OBTURÉE et REBOUTÉ); le pangramme utilise toutes les lettres de l’alphabet — ainsi du fameux : «Portez ce vieux whisky au juge blond qui fume»).
Boule de neige : Si, dans un poème, le premier vers est fait d’un mot d’une lettre, le second d’un mot de deux lettres, et le nième et dernier vers d’un mot de n lettres, on a une boule de neige de longueur n. Si le poème commence par n verset le nombre de lettres diminue à chaque vers, on a une boule de neige fondante.
Haï-kaïsation : Un bref poème (semblable à un haïku) est produit en ne gardant que la fin des vers d’un poème donné. (Un poème de Hugo devient : Ceux qui passent/ disent, s’effacent/ Quoi ! le bruit !/Quoi, les arbres !/Vous les marbres/Vous la nuit …)
Méthode S + 7. C’est une méthode de translation qui consiste à remplacer chaque substantif d’un texte donné par le septième substantif qui le suit dans un dictionnaire donné. La Cigale et la Fourmi devient ainsi : La Cimaise et la Fraction.
Il existe des dizaines de telles contraintes. Pour en découvrir d’autres, on consultera le site d’Oulipo à : [http://www.oulipo.net/contraintes]
On lira aussi avec plaisir les Exercices de style, de Raymond Queneau, dans lesquels une même banale histoire est contée selon 99 contraintes différentes, d’autant de manières différentes.
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Reprenons à présent notre exercice de rapprochement de l’humour et des mathématiques.
Dans les deux cas, suggère encore Paulos, des combinaisons d'idées et de formes sont organisées puis décomposées, en grande partie par plaisir — et ce plaisir, du moins en mathématiques pures et en humour pur — est intrinsèque à l'activité et est sa fin.
Par ailleurs, l'ingénuité et l'intelligence sont des traits distinctifs des deux activités et toutes deux ont recours à la logique, à des modèles, à des règles et à des structures — même si, en humour, la logique est souvent mise à mal; les modèles sont déformés; les règles et les structures confuses. Mais ces transformations ne sont pas arbitraires et doivent avoir du sens à un certain niveau ou en fonction d'une interprétation correcte de ces éléments — ce qui permet que soit saisi comme incongru ce que la blague raconte.
J’aimerais proposer à présent trois exemples de ces utilisations de formes en humour et en mathématique: les contrepèteries, le reductio ad absurdum et finalement les blagues par autoréférence contradictoire.
Une singulière algèbre : l’art de la contrepèterie
Les contrepèteries fournissent en effet un amusant exemple de ces jeux formels. Je suggère qu’on peut y voir une sorte d’algèbre verbale où des variables sont permutées pour produire de nouvelles équations, aussi linguistiquement valides que celles dont on part. Mais commençons par rappeler de quoi il s’agit.
La contrepèterie — ou antistrophe — consiste, en les permutant, à prendre un son pour un autre dans une phrase ou une expression et à produire ainsi une nouvelle phrase. Évidemment, le sens de la phrase (ou de l’expression) se trouve alors changé et l’effet comique est produit par ce changement inattendu. Rabelais (1494-vers 1554) écrit par exemple : «Il n'y a qu'une antistrophe entre femme folle à la messe et femme molle à la fesse. »
Le mot «contrepèterie » viendrait peut-être de ce que, dans ce jeu de langage, les sons sont pris à contrepied (et pèterie renverrait alors à piéter, pied). Mais d’autres auteurs le rapportent plutôt … à péter; ils peuvent arguer pour cela de la tournure carrément vulgaire, voire scatologique, de bien des contrepèteries.
Voici un bref échantillon de contrepèteries — pour vous aider, les sons à permuter des trois premiers exemples sont en gras:
Les pédagogues ont l’air d’aimer
La Grèce Historique
Une belle thèse
Ni de fin ni de cesse
Superman a une bouille incroyable
La berge du ravin
Il court, il court le furet, le furet…
Le procédé peut rapidement devenir infiniment plus complexe et il y a des experts de la contrepèterie comme il y en a du calembour .
Le reductio ad absurdum
La chose est presque trop belle pour être vraie : il existe en mathématiques un type de preuve, très puissante et très utilisée depuis l’Antiquité, appelée Preuve par l’absurde ou Raisonnement par l’absurde! Raymond Devos, Woody Allen, Claude Meunier et tous les autres : réjouissez vous! Vous êtes en bonne compagnie!
En deux mots, et sans prétendre à trop de rigueur, ce raisonnement consiste, pour prouver la proposition P, à tenir non P pour vraie et à montrer qu’elle conduit à une conclusion dont la fausseté est établie ou qui contredit ce qu’on a admis. On conclut alors que puisque non P ne peut être vraie, P doit donc l’être. C’est par un tel raisonnement qu’Euclide a démontré l’infinitude des nombres premiers, une des plus belles et des plus élégantes preuves que je connaisse.
En humour, le déploiement de conséquences absurdes est également un procédé courant. Certes, on ne le pratique pas pour prouver un théorème, mais plutôt pour les effets comiques que l’absurdité des conséquences permet de tirer. Mais il n’est pas interdit de voir aussi, dans les absurdités comiques tirées, une invitation à méditer sur la pertinence et la plausibilité des prémisses dont l’humoriste est parti.
Brassens utilise ce genre de raisonnement par l’absurde dans certaines chansons. À l’ombre des maris, par exemple, a pour point de départ un homme qui préfère les femmes mariées; mais pas n’importe lesquelles, précise-t-il : celles dont les maris lui plaisent aussi et dont il pourra se faire un ami!
Les conséquences qu’en tire Brassens sont plus absurdes les unes que les autres (par exemple : Mais si l'on tombe, hélas! sur des maris infâmes/Certains sont si courtois, si bons si chaleureux/Que, même après avoir cessé d'aimer leur femme/On fait encore semblant uniquement pour eux) et invite dès lors à méditer sur la sagesse de cette étrange manière de choisir ses maîtresses.
Ce texte savoureux se termine ainsi — Brassens parle d’une maîtresse mariée qui l’a laissé tomber:
À l’ombre des maris (extrait)
Non contente de me déplaire, elle me trompe,
Et les jours ou, furieux, voulant tout mettre à bas
Je crie : "La coupe est pleine, il est temps que je rompe!"
Le mari me supplie : "Non ne me quittez pas!"
Et je reste, et, tous deux, ensemble on se flagorne.
Moi, je lui dis : "C'est vous mon cocu préféré."
Il me réplique alors : "Entre toutes mes cornes,
Celles que je vous dois, mon cher, me sont sacrées."
Et je reste et, parfois, lorsque cette pimbêche
S'attarde en compagnie de son nouvel amant,
Que la nurse est sortie, le mari à la pêche,
C'est moi, pauvre de moi! qui garde les enfants.
***
J’en viens à présent à mon dernier exemple de similitude formelle entre humour et mathématiques, qui rapproche cette fois le paradoxe du mathématicien de son proche cousin : la blague par auto-référence contradictoire de l’humoriste.
«Je mens!»
J’ai évoqué plus haut (note 7) la crise des fondements qui afflige les mathématiques au début du XXe siècle. Cette crise tient en partie à la découverte de contradictions ou paradoxes au sein de la théorie des ensembles.
Ceux-ci sont trop techniques pour être exposés ici, mais Bertrand Russell, qui en a découvert un fameux, en a donné une version amusante et accessible. Imaginez un pays où le barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes et rien qu’eux. Rien ici de saugrenu. Mais considérez la question suivante : notre barbier doit-il ou non se raser lui-même? L'esprit, immanquablement, trébuche devant le paradoxe qui conduit à répondre que si oui, non et si non, oui! (Si elle vous a échappé, vous pouvez ici relire la réponse de Russell quant aux motivations de la poule qui traverse la rue…)
Ce paradoxe est au fond le même que celui qui consiste à affirmer : «Je mens». Et le procédé est à la source de bien des blagues. Voyez plutôt.
Blagues par auto-référence contradictoire
Des problèmes avec les mathématiques?
Appelez :
1-800-[(10x)(13i)^2]-[sin(xy)/2.362x].
***
Le saviez-vous? 87, 22369% des données statistiques prétendent parvenir à un degré de précision que les méthodes utilisées ne permettent pas de garantir.
***
— Je n’accepterais jamais d’être membre d’un club qui voudrait de moi comme membre.
—Tels sont mes principes : et si vous ne les aimez pas, j’en ai d’autres.
— «La clé du succès dans la vie, c’est l’honnêteté et la loyauté : si vous parvenez à simuler ça, vous avez gagné!»
(Groucho Marx)
***
Le sondeur : — Connaissez-vous le degré d’ignorance et de désintérêt du public pour les affaires publiques? Qu’en pensez-vous?
Le sondé : — Je l’ignore et je m’en fous.
*
Mais les rapprochements suggérés par Paulos ne s’arrêtent pas là. Rappelons-en quelques autres avant de présenter son interprétation de l’humour inspirée des mathématiques.
Mathématiques et humour sont encore caractérisés par une économie de moyens et vont (idéalement) explicitement au but. De la même manière que la beauté d'une preuve en mathématiques tient en grande partie à son élégance et à sa brièveté, une blague réussie est «punchée» et va directement au but, sans détails inutiles ou superflus et n’est même bonne qu’à cette condition, nécessaire — mais bien entendu non suffisante.
Ces qualités se retrouvent dans ce «Ah!Ah!» de la compréhension d'une belle preuve ou d'une bonne blague. La chute d'une preuve et celle d'une blague sont en ce sens comparables.
***
Comme je l’ai annoncé, je vais terminer cet article en rappelant une idée avancée par Paulos qui suggère que les mathématiques peuvent aider à comprendre ce qui se produit quand nous rions.
Je note au passage qu’un inventaire des formes des blagues me paraît depuis longtemps une entreprise possiblement intéressante. Sa meilleure retombée serait de dégager les «moules» de procédés humoristiques et, pourquoi pas?, des mécanismes de leur génération, pavant ainsi peut-être la voie à l’identification de quelques «algorithmes de l’humour».
HUMOUR ET MATHÉMATIQUES (1/3)
[Premier jet de mon texte sur ce sujet. Les notes de bas de pages sont omises. M'écrire si vous coulez le reproduire. Commentaires et correctifs appréciés. Mise en garde: c'est long...]
J’ai un moment hésité à intituler cet article Humour et mathématiques. C’est que je soupçonnais qu’en y apercevant le mot mathématiques, bien des gens, qui, à l’instar de Victor Hugo, ne se souviennent qu’avec angoisse ou douleur de leurs cours de mathématiques, ne sautent aussitôt par-dessus mon texte.
****************************************************************************************L’élève Hugo et les mathématiques :
J'étais alors en proie à la mathématique.
Temps sombre! enfant ému du frisson poétique,
Pauvre oiseau qui heurtais du crâne mes barreaux,
On me livrait tout vif aux chiffres, noirs bourreaux;
On me faisait de force ingurgiter l'algèbre.
Victor Hugo, « À propos d'Horace», dans : Les Contemplations, 1856.
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Mais il est inutile de le cacher : nous parlerons bien ici de mathématiques et d’humour. Dont acte. Et qui sait? La curiosité de certains lecteurs l’emportera peut-être et au: «Les mathématiques, il n’y a vraiment pas de quoi rire!», succédera une certaine curiosité («Comment peut-on rapprocher ces deux choses-là?»), qui les incitera à au moins aller jeter un œil sur ma prose.
Si cela a été votre cas, je vous souhaite la bienvenue et salue votre courage!
Rapprocher mathématiques et humour, cela peut bien entendu se faire de bien des manières. En voici deux que je ne poursuivrai pas longtemps ici et que je n’évoque qu’en guise de hors-d’oeuvre.
Rire des mathématiciens
La première serait de rire de travers réels ou présumés des mathématiciens et mathématiciennes . Certains de ceux-ci, à tort ou à raison, sont notoires et donnent en effet à rire ou à sourire. Les gags ainsi produits ne nécessitent typiquement aucun savoir mathématique particulier.
Les mathématiciens sont par exemple présumés être lunatiques et incapables de comprendre que telle ou telle démonstration ne soit pas immédiatement claire à chacun — et c’est là, il me semble, en pédagogie, une des sources des difficultés que tant de gens connaissent en mathématiques.
L’histoire qui suit illustre avec humour ces deux travers.
Le professeur de mathématiques
Une délégation d’étudiantes et d’étudiants se rend au bureau du professeur de mathématiques pour se plaindre de son enseignement.
— « Pour vous professeur, plaident-ils, tout est clair et évident, comme vous le dites souvent; mais pas pour nous. Vous allez trop rapidement et nous n’avons pas le temps de prendre des notes. Si vous donniez des exemples et si vous preniez le temps d’écrire au tableau, nous pourrions mieux vous suivre. Les choses pourraient alors nous sembler, à nous aussi, claires et évidentes».
Le professeur assure en prendre bonne note et il promet de changer.
Le lendemain il donne son cours, mais, emporté par son sujet, il procède encore une fois comme à son habitude.
Quand il a terminé son exposé, il dit : «Et comme vous voyez, tout cela est parfaitement clair et évident».
Cela lui rappelle sa promesse et il reprend aussitôt : «Clair et évident comme deux et deux font quatre». Et il va au tableau où il écrit : 2+2 = 4.
Rire avec les mathématiques
Une deuxième manière de rapprocher humour et mathématiques serait de rire grâce ou bien à des concepts ou bien à des noms de concepts mathématiques. Mais contrairement à ce qui précède, on ne pourra dans ces deux cas comprendre le gag que si on possède le savoir mathématique qu’il présuppose.
Voici des exemples d’un d’humour dans lequel un concept mathématique permet de faire une blague.
Celle-ci, dit-on, était contée avec délice par le logicien et philosophe Ludwig Wittgenstein (1899-1951).
Un mathématicien rencontre un collègue à bout de souffle qui récite :… 9, 5, 1, 4, 1, 3. Ouf!
Il lui dit : — Tu as l’air épuisé. Qu’est-ce qui t’arrive?
— Je viens de finir de réciter Pi à l’envers…
On le voit : ce gag ne marche que si la personne à qui on le conte connaît le concept mis en œuvre : Pi étant un nombre irrationnel, son développement est infini et on ne peut donc pas le réciter à l’envers .
Il en va de même de la blague suivante, qui présuppose un certain (bien qu’élémentaire) savoir mathématique :
— Le professeur de mathématiques: Supposons que la distance qu’on recherche est X.
— L’élève: Moi, je veux bien : mais qu’arrive-t-il si la distance n’est pas X?
Une toute dernière? Allons-y. Il n’est pas besoin d’un grand bagage d’arithmétique pour sourire en lisant ce mémorable extrait de Marius, de Marcel Pagnol.
La recette du picon-citron-curaçao
César : Eh bien, pour la dixième fois, je vais te l'expliquer, le picon-citron-curaçao. (Il s'installe derrière le comptoir.) Approche-toi ! (Marius s'avance, et va suivre de près l'opération. César prend un grand verre, une carafe et trois bouteilles. Tout en parlant, il compose le breuvage.) Tu mets d'abord un tiers de curaçao. Fais attention : un tout petit tiers. Bon. Maintenant, un tiers de citron. Un peu plus gros. Bon. Ensuite, un BON tiers de Picon. Regarde la couleur. Regarde comme c'est joli. Et à la fin, un grand tiers d'eau. Voilà.
Marius : Et ça fait quatre tiers.
César : Exactement. J'espère que cette fois, tu as compris. (Il boit une gorgée du mélange)
Marius : Dans un verre, il n'y a que trois tiers.
César : Mais, imbécile, ça dépend de la grosseur des tiers!
Marius : Eh non, ça ne dépend pas. Même dans un arrosoir, on ne peut mettre que trois tiers.
César (triomphant) : Alors, explique-moi comment j'en ai mis quatre dans ce verre!
Marius : Ça, c'est de l'arithmétique .
***
Si ces blagues reposent sur des concepts mathématiques, on peut aussi, comme je l’ai dit, rire grâce aux noms de certains concepts mathématiques, qui permettent de faire des jeux de mots. En voici quelques exemples.
— Logarithme et exponentielle vont au restaurant. Qui paie l'addition?
— Exponentielle. Parce que logarithme népérien!
Le jeu de mot népérien/ ne paie rien repose sur l’adjectif «népérien» qui désigne un type de logarithme. Il est tiré de John Napier ou Neper (1550-1617), un mathématicien écossais qui en est généralement reconnu comme l’inventeur.
Et encore :
— Qu’est-ce qui vit dans la mer et qui n’est pas orientable? Möbius Dick!
Cette fois, le jeu de mot Moby Dick/ Möbius Dick est une référence au Ruban de Möbius. Celui-ci est si particulier (et si amusant?) que je ne résiste pas à la tentation d’en toucher un mot.
Prenez une bande de papier assez longue (disons 50 cm) et pas très large (disons 4 cm). Déposez-la sur la table puis, faites lui faire une demi-rotation et collez les deux extrémités avec du ruban adhésif.
Ce que vous venez de créer devrait ressembler à ce qui suit et est appelé Ruban de Möbius, en l’honneur de l’astronome Allemand qui l’a découvert au XIX e siècle. Votre création ressemblera à ceci :
Ce ruban est très étrange. En fait, vous pouvez parier tout ce que vous voudrez avec vos amis et sans risque aucun qu’ils ne parviendront pas en colorer une face d’une couleur et l’autre face d’une autre couleur. Hésitant? Vérifiez!
Le ruban de Möbius a en effet cette étonnante propriété de n’avoir qu’une seule face!
Vous le verrez bien en la suivant du doigt : vous revenez à votre point de départ. Quand cet exercice vous lassera, coupez votre ruban en deux dans le sens de la longueur : une surprise vous attend.
***
J’espère qu’on en conviendra: on peut tout à fait rire avec les mathématiques et le rapprochement entre humour et mathématiques n’est pas si incongru qu’il pourrait sembler de prime abord.
Ce je souhaite accomplir ici est cependant quelque chose d’un peu plus ambitieux: je voudrais en effet tenter de rapprocher des procédés humoristiques de certains types de raisonnements mathématiques.
Bien entendu, je ne soutiens nullement que les humoristes sont des mathématiciens qui s’ignorent ou que tous les mathématiciens soient drôles. Mais je voudrais néanmoins faire remarquer combien certains modes de pensée mis en œuvre quand on fait des mathématiques sont aussi à l’œuvre en humour, de sorte que la compréhension des uns aide à la compréhension des autres. C’est par un détour vers la philosophie des mathématiques que je dégagerai ces modes de pensée qui sont mis en œuvre en mathématiques et que je soutiendrai être aussi présents en humour: de sorte que ce texte sera l’occasion d’apprendre, avec humour j’espère, quelques notions de philosophie des mathématiques.
Je terminerai ce texte en présentant une thèse fort originale avancée par le mathématicien contemporain Allen Paulos dans son remarquable Mathematics and Humor (1980), qui suggère, très finement, que les mathématiques peuvent nous aider à comprendre pourquoi, en certains cas du moins, nous trouvons que quelque chose est drôle. Pour pleinement apprécier la thèse de Paulos, il faut cependant comprendre cette notion d’axiomatique qui est si importante en mathématiques et en philosophie des mathématiques : je me ferai un devoir et un plaisir de l’expliquer plus loin avant d’exposer ce que suggère Paulos.
Pour réaliser ce vaste programme, il nous faut commencer par toucher un mot de la philosophie des mathématiques, à laquelle nous demanderons de nous aider à rapprocher mathématiques et humour. Ici, comme c’est très souvent le cas en philosophie, c’est par Platon que tout commence et c’est à lui qu’il nous faut retourner.
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Comment la poule a-t-elle traversé la rue?
Comment de célèbres mathématiciens répondraient-ils à cette fameuse question? Je me suis amusé à imaginer quelques réponses possibles.
Zénon : La poule n’est jamais parvenue de l’autre côté de la rue.
Pythagore : Selon une diagonale.
Leibniz — Selon une accélération que permet de déterminer avec précision une nouvelle branche des mathématiques dont je suis le découvreur.
Newton — Dont JE suis découvreur.
Einstein : Dans quel référentiel?
Weierstrass : En continu.
Fibonacci : En suivant un nombre d’or de lapins.
Russell : En se rendant chez le plumeur, puisqu’elle ne se plumait pas elle-même.
Descartes : Elle avait un bon plan.
Gödel : La proposition : «La poule a traversé la rue » est indécidable.
Fermat : Je l’ai découvert, mais je n’ai pas la place pour l’écrire.
(N.B.)
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Le platonisme comme philosophie des mathématiques, ou : Les objets mathématiques existent, je les ai rencontrés!
On rapporte qu’à l’entrée de l’Académie (l’école qu’il avait fondée à Athènes) Platon (427-347) avait fait écrire : «Nul n’entre ici s’il n’est géomètre ».
L’anecdote nous indique l’importance des mathématiques pour le philosophe et la très haute estime qu’il avait pour elles. Platon est loin d’être le seul dans ce cas et bien des philosophes ont partagé son amour et sa fascination pour les mathématiques .
Ce qui fascinait Platon et qui fascine encore tant de gens, c’est que les mathématiques nous procurent un savoir certain et qui semble en outre indépendant de l’expérience. La proposition : 2 + 2 = 4 est irréfutable et me parait certaine dès lors que je la comprends ; de plus, je ne peux pas concevoir d’expérience qui la contredirait et je n’ai même pas besoin de l’expérience pour la savoir certaine. Pensez y : on s’inquiéterait pour la personne qui nous dirait avoir vérifié la chose et que 2 + 2 ne font finalement pas 4! Et pour la convaincre de son erreur, on devrait s’assurer qu’elle comprend bien, dans sa tête si je peux dire, ce que signifie 2, 4, +, et =.
Comment expliquer ces étranges caractéristiques du savoir mathématique? Platon avait une réponse à cette question, une réponse à laquelle de très nombreux mathématiciens restent attachés — on les appelle justement platonistes pour cette raison.
Ce que Platon suggère, c’est que les objets dont s’occupe les mathématiques, c’est-à-dire les nombres, les figures géométriques et ainsi de suite, existent réellement, indépendamment de nous, et cela même si on n’accède pas à eux à travers nos cinq sens mais grâce, disons-le simplement, à notre esprit. Quand nous faisons des mathématiques, pense Platon, nous accédons à cet autre ordre de réalité et nous le contemplons. Les idées auxquelles on accède alors sont pures, éternelles (on écrit en ce sens Idées avec une majuscule) et le monde auquel elles appartiennent est appelé par Platon le monde intelligible, par opposition au monde sensible, celui de tous les jours.
Les Idées mathématiques ne sont pas tirées du monde sensible : on les applique plutôt à lui et ce monde sensible n’est qu’un pâle reflet du monde intelligible. Dans le monde sensible, les cercles, les triangles, et ainsi de suite ne sont jamais parfaits : ils ne sont que de médiocres reflets des Cercles, Triangles, etc. éternels et parfaits et ne sont reconnaissables par nous que parce que nous avons déjà, en nous, l’Idée de Cercle, celle de Triangle, etc. Dans le monde sensible, dirait Platon, on observe bien des paires, mais pas le nombre 2 lui-même; et nous n’avons, à propos du monde sensible, que de simples opinions: le savoir mathématique véritable porte sur les Idées (mathématiques) du monde intelligible, dont, par l’esprit, nous pouvons découvrir des propriétés.
Le mot crucial est ici découvrir. Pour Platon, comme pour tant de mathématiciens et de philosophes, on découvre les objets mathématiques qui existent réellement, hors de nous (on appelle aussi cette position le réalisme). Voici un exemple qui devrait vous aider à sympathiser avec cette théorie à première vue étrange, voire improbable.
Pi, on l’a vu plus haut, est un nombre à développement infini. Or, si tenir Pi pour égal à : 3, 14159 est en pratique suffisamment précis pour tous nos calculs, l’établissement des décimales de Pi est un exercice auquel on se livre encore (il est utile, par exemple, pour tester la puissance et la fiabilité des ordinateurs). Jusqu’où est-on allé dans la découverte de ces décimales de Pi? La réponse, renversante, est qu’on en connaît aujourd’hui plus de mille milliards!
Supposons, par convention, qu’on connaît la mille milliardième décimale de pi et pas la suivante. On trouvera bien un jour cette nouvelle décimale, la mille milliardième et une. Supposons qu’on la trouve dans la minute qui suit. Le chiffre sera pair ou impair. Disons qu’il est pair. Diriez-vous qu’on a inventé qu’il est pair ou qu’on a découvert qu’il est pair? Le réaliste en philosophie des mathématiques ou platoniste, répond sans hésiter qu’on l’a découvert, que tout se passe comme si ce chiffre nous attendait et que nous sommes finalement « tombés dessus », si on peut dire.
Platon, dans sa philosophie qu’on appelle pour cela l’Idéalisme, va généraliser ce qu'il dit des mathématiques à toutes les autres Idées qui peuplent le monde Intelligible : comme il existe une Idée de Nombre dont nous n’apercevons que des pales copies dans le monde Sensible, il existe une Idée de Lit, une Idée de Cheval, mais aussi une Idée de Beau, une Idée de Vrai, et une Idée de Bien. Mais n’entrons pas plus avant dans cet aspect de la philosophie platonicienne et retenons simplement que Platon propose une immensément influente conception de la nature des objets et du savoir mathématique qui explique, en partie au moins, la fascination qu’elles exercent.
Reste cependant à dire comment nous développons ce savoir et comment nous en venons à contempler ces objets. La réponse la plus courante à ces questions est que le savoir mathématique est hypothético-déductif et se présente, idéalement, sous une forme dite axiomatisée. Il me faut brièvement expliquer tout cela avant de revenir à l’humour.
(Et s’il vous faut une petite pause avant de poursuivre, je vous invite à essayer d’identifier l’erreur dans le (mauvais) raisonnement qui suit. La solution est donnée à la fin de ce texte.)
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1. Posons :
a = b
2. Multiplions chaque côté par a :
a 2 = ab
3. Soustrayons b2 de chaque côté :
a2 – b2 = ab – b2
4. Mettons en facteurs :
(a + b) (a – b) = b (a – b)
5. Divisons par a - b :
a + b = b
6. Puisque a, par définition = b
b+ b= b
7. Et si 2 b = b, alors :
2 = 1
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Axiomatique et méthode hypothético-déductive
Beaucoup — et selon Martin Gardner, la plupart — des mathématiciens sont, à des degrés divers, des platonistes en ce qui concerne la nature et le mode d’existence des objets de leur science .
Mais en ce qui concerne cette fois la méthodologie des mathématiques et la manière dont sont établies ses propositions, une position philosophique très commune veut que les mathématiques soient une science formelle, utilisant la méthode hypothético-déductive et dont les résultats peuvent être présentés dans le cadre de systèmes particuliers appelés des axiomatiques. Rien de tout cela n’est vraiment très compliqué.
Une science formelle. L’idée est la suivante. Les différentes autres sciences étudient des objets du monde extérieur, des faits : elles sont factuelles. C’est ainsi que le biologiste étudie des êtres vivants, le physicien la matière et les atomes, le chimiste, les éléments et les molécules, le sociologue des sociétés. Mais les mathématiques, on la vu, n’ont aucun objet de cet ordre, qui serait donné dans l’expérience. Elles s’intéressent à autre chose qu’on peut appeler des formes. Un exemple rendra cela plus clair.
Un météorologue pourra vous dire, avec une marge d’erreur, s’il pleuvra ou non; un logicien, lui, vous dira qu’il pleuvra ou qu’il ne pleuvra pas et que cela est une certitude puisqu’on ne fait ici qu’appliquer au fait de pleuvoir la disjonction exclusive : «P ou non P», laquelle est toujours valide. Notez que l’on dit ici valide (qui est une propriété des formes indépendante de ce qui se trouve être ou non le cas dans le monde) et non vraie (qui est une propriété des propositions factuelles dépendant de l’état du monde).
Une science hypothético-déductive et axiomatisée. Les mathématiques utilisent en effet une méthodologie par laquelle certaines choses étant posées par hypothèse (on les appelle typiquement des axiomes), d’autres, (appelées typiquement des théorèmes) en sont déduites selon certaines règles. On appelle axiomatique un tel système.
De manière intuitive, on peut le définir comme comprenant : des termes premiers et non définis qui serviront à définir tous les autres; des propositions premières, qui serviront à démontrer toutes les autres; et des règles de manipulation. Historiquement le premier exemple, illustre, d’une axiomatique, est celui de la géométrie classique, qui a été l’oEuvre d’Euclide.
Voici un autre chef-d’œuvre du genre, l’axiomatique des entiers naturels de Peano. Le système ne comprend que trois termes non définis : zéro, nombre et successeur; et cinq propositions premières.
En voici une formulation simplifiée:
1. Zéro est un nombre
2. Le successeur d’un nombre est un nombre
3. Des nombres entiers distincts ont des successeurs distincts.
4. Zéro n’est le successeur d’aucun nombre.
5. Si une propriété est vérifiée par 0 et si, pour tout entier naturel qui la vérifie, son successeur la vérifie également, alors la propriété est vraie pour tous les nombres.
Interprétez zéro et successeur selon leurs sens usuels et vous obtenez grâce à cette axiomatique la suite des nombres naturels : 0, 1, 2, … à l’infini.
Je référerai à quelques reprises à cette notion d’axiomatique dans ce qui suit et j’espère donc que mes explications ont été assez claires. Pour le savoir, demandez-vous si vous êtes à présent en mesure de comprendre le bon mot de Bertrand Russell qui assurait :« Les mathématiques sont une science où on ne sait ni de quoi on parle, ni si ce qu'on dit est vrai».
Avec ces outils, revenons à présent à l’humour, avec quoi les mathématiques ainsi comprises présentent de notables similitudes.
J’ai un moment hésité à intituler cet article Humour et mathématiques. C’est que je soupçonnais qu’en y apercevant le mot mathématiques, bien des gens, qui, à l’instar de Victor Hugo, ne se souviennent qu’avec angoisse ou douleur de leurs cours de mathématiques, ne sautent aussitôt par-dessus mon texte.
****************************************************************************************L’élève Hugo et les mathématiques :
J'étais alors en proie à la mathématique.
Temps sombre! enfant ému du frisson poétique,
Pauvre oiseau qui heurtais du crâne mes barreaux,
On me livrait tout vif aux chiffres, noirs bourreaux;
On me faisait de force ingurgiter l'algèbre.
Victor Hugo, « À propos d'Horace», dans : Les Contemplations, 1856.
***************************************************************************************
Mais il est inutile de le cacher : nous parlerons bien ici de mathématiques et d’humour. Dont acte. Et qui sait? La curiosité de certains lecteurs l’emportera peut-être et au: «Les mathématiques, il n’y a vraiment pas de quoi rire!», succédera une certaine curiosité («Comment peut-on rapprocher ces deux choses-là?»), qui les incitera à au moins aller jeter un œil sur ma prose.
Si cela a été votre cas, je vous souhaite la bienvenue et salue votre courage!
Rapprocher mathématiques et humour, cela peut bien entendu se faire de bien des manières. En voici deux que je ne poursuivrai pas longtemps ici et que je n’évoque qu’en guise de hors-d’oeuvre.
Rire des mathématiciens
La première serait de rire de travers réels ou présumés des mathématiciens et mathématiciennes . Certains de ceux-ci, à tort ou à raison, sont notoires et donnent en effet à rire ou à sourire. Les gags ainsi produits ne nécessitent typiquement aucun savoir mathématique particulier.
Les mathématiciens sont par exemple présumés être lunatiques et incapables de comprendre que telle ou telle démonstration ne soit pas immédiatement claire à chacun — et c’est là, il me semble, en pédagogie, une des sources des difficultés que tant de gens connaissent en mathématiques.
L’histoire qui suit illustre avec humour ces deux travers.
Le professeur de mathématiques
Une délégation d’étudiantes et d’étudiants se rend au bureau du professeur de mathématiques pour se plaindre de son enseignement.
— « Pour vous professeur, plaident-ils, tout est clair et évident, comme vous le dites souvent; mais pas pour nous. Vous allez trop rapidement et nous n’avons pas le temps de prendre des notes. Si vous donniez des exemples et si vous preniez le temps d’écrire au tableau, nous pourrions mieux vous suivre. Les choses pourraient alors nous sembler, à nous aussi, claires et évidentes».
Le professeur assure en prendre bonne note et il promet de changer.
Le lendemain il donne son cours, mais, emporté par son sujet, il procède encore une fois comme à son habitude.
Quand il a terminé son exposé, il dit : «Et comme vous voyez, tout cela est parfaitement clair et évident».
Cela lui rappelle sa promesse et il reprend aussitôt : «Clair et évident comme deux et deux font quatre». Et il va au tableau où il écrit : 2+2 = 4.
Rire avec les mathématiques
Une deuxième manière de rapprocher humour et mathématiques serait de rire grâce ou bien à des concepts ou bien à des noms de concepts mathématiques. Mais contrairement à ce qui précède, on ne pourra dans ces deux cas comprendre le gag que si on possède le savoir mathématique qu’il présuppose.
Voici des exemples d’un d’humour dans lequel un concept mathématique permet de faire une blague.
Celle-ci, dit-on, était contée avec délice par le logicien et philosophe Ludwig Wittgenstein (1899-1951).
Un mathématicien rencontre un collègue à bout de souffle qui récite :… 9, 5, 1, 4, 1, 3. Ouf!
Il lui dit : — Tu as l’air épuisé. Qu’est-ce qui t’arrive?
— Je viens de finir de réciter Pi à l’envers…
On le voit : ce gag ne marche que si la personne à qui on le conte connaît le concept mis en œuvre : Pi étant un nombre irrationnel, son développement est infini et on ne peut donc pas le réciter à l’envers .
Il en va de même de la blague suivante, qui présuppose un certain (bien qu’élémentaire) savoir mathématique :
— Le professeur de mathématiques: Supposons que la distance qu’on recherche est X.
— L’élève: Moi, je veux bien : mais qu’arrive-t-il si la distance n’est pas X?
Une toute dernière? Allons-y. Il n’est pas besoin d’un grand bagage d’arithmétique pour sourire en lisant ce mémorable extrait de Marius, de Marcel Pagnol.
La recette du picon-citron-curaçao
César : Eh bien, pour la dixième fois, je vais te l'expliquer, le picon-citron-curaçao. (Il s'installe derrière le comptoir.) Approche-toi ! (Marius s'avance, et va suivre de près l'opération. César prend un grand verre, une carafe et trois bouteilles. Tout en parlant, il compose le breuvage.) Tu mets d'abord un tiers de curaçao. Fais attention : un tout petit tiers. Bon. Maintenant, un tiers de citron. Un peu plus gros. Bon. Ensuite, un BON tiers de Picon. Regarde la couleur. Regarde comme c'est joli. Et à la fin, un grand tiers d'eau. Voilà.
Marius : Et ça fait quatre tiers.
César : Exactement. J'espère que cette fois, tu as compris. (Il boit une gorgée du mélange)
Marius : Dans un verre, il n'y a que trois tiers.
César : Mais, imbécile, ça dépend de la grosseur des tiers!
Marius : Eh non, ça ne dépend pas. Même dans un arrosoir, on ne peut mettre que trois tiers.
César (triomphant) : Alors, explique-moi comment j'en ai mis quatre dans ce verre!
Marius : Ça, c'est de l'arithmétique .
***
Si ces blagues reposent sur des concepts mathématiques, on peut aussi, comme je l’ai dit, rire grâce aux noms de certains concepts mathématiques, qui permettent de faire des jeux de mots. En voici quelques exemples.
— Logarithme et exponentielle vont au restaurant. Qui paie l'addition?
— Exponentielle. Parce que logarithme népérien!
Le jeu de mot népérien/ ne paie rien repose sur l’adjectif «népérien» qui désigne un type de logarithme. Il est tiré de John Napier ou Neper (1550-1617), un mathématicien écossais qui en est généralement reconnu comme l’inventeur.
Et encore :
— Qu’est-ce qui vit dans la mer et qui n’est pas orientable? Möbius Dick!
Cette fois, le jeu de mot Moby Dick/ Möbius Dick est une référence au Ruban de Möbius. Celui-ci est si particulier (et si amusant?) que je ne résiste pas à la tentation d’en toucher un mot.
Prenez une bande de papier assez longue (disons 50 cm) et pas très large (disons 4 cm). Déposez-la sur la table puis, faites lui faire une demi-rotation et collez les deux extrémités avec du ruban adhésif.
Ce que vous venez de créer devrait ressembler à ce qui suit et est appelé Ruban de Möbius, en l’honneur de l’astronome Allemand qui l’a découvert au XIX e siècle. Votre création ressemblera à ceci :
Ce ruban est très étrange. En fait, vous pouvez parier tout ce que vous voudrez avec vos amis et sans risque aucun qu’ils ne parviendront pas en colorer une face d’une couleur et l’autre face d’une autre couleur. Hésitant? Vérifiez!
Le ruban de Möbius a en effet cette étonnante propriété de n’avoir qu’une seule face!
Vous le verrez bien en la suivant du doigt : vous revenez à votre point de départ. Quand cet exercice vous lassera, coupez votre ruban en deux dans le sens de la longueur : une surprise vous attend.
***
J’espère qu’on en conviendra: on peut tout à fait rire avec les mathématiques et le rapprochement entre humour et mathématiques n’est pas si incongru qu’il pourrait sembler de prime abord.
Ce je souhaite accomplir ici est cependant quelque chose d’un peu plus ambitieux: je voudrais en effet tenter de rapprocher des procédés humoristiques de certains types de raisonnements mathématiques.
Bien entendu, je ne soutiens nullement que les humoristes sont des mathématiciens qui s’ignorent ou que tous les mathématiciens soient drôles. Mais je voudrais néanmoins faire remarquer combien certains modes de pensée mis en œuvre quand on fait des mathématiques sont aussi à l’œuvre en humour, de sorte que la compréhension des uns aide à la compréhension des autres. C’est par un détour vers la philosophie des mathématiques que je dégagerai ces modes de pensée qui sont mis en œuvre en mathématiques et que je soutiendrai être aussi présents en humour: de sorte que ce texte sera l’occasion d’apprendre, avec humour j’espère, quelques notions de philosophie des mathématiques.
Je terminerai ce texte en présentant une thèse fort originale avancée par le mathématicien contemporain Allen Paulos dans son remarquable Mathematics and Humor (1980), qui suggère, très finement, que les mathématiques peuvent nous aider à comprendre pourquoi, en certains cas du moins, nous trouvons que quelque chose est drôle. Pour pleinement apprécier la thèse de Paulos, il faut cependant comprendre cette notion d’axiomatique qui est si importante en mathématiques et en philosophie des mathématiques : je me ferai un devoir et un plaisir de l’expliquer plus loin avant d’exposer ce que suggère Paulos.
Pour réaliser ce vaste programme, il nous faut commencer par toucher un mot de la philosophie des mathématiques, à laquelle nous demanderons de nous aider à rapprocher mathématiques et humour. Ici, comme c’est très souvent le cas en philosophie, c’est par Platon que tout commence et c’est à lui qu’il nous faut retourner.
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Comment la poule a-t-elle traversé la rue?
Comment de célèbres mathématiciens répondraient-ils à cette fameuse question? Je me suis amusé à imaginer quelques réponses possibles.
Zénon : La poule n’est jamais parvenue de l’autre côté de la rue.
Pythagore : Selon une diagonale.
Leibniz — Selon une accélération que permet de déterminer avec précision une nouvelle branche des mathématiques dont je suis le découvreur.
Newton — Dont JE suis découvreur.
Einstein : Dans quel référentiel?
Weierstrass : En continu.
Fibonacci : En suivant un nombre d’or de lapins.
Russell : En se rendant chez le plumeur, puisqu’elle ne se plumait pas elle-même.
Descartes : Elle avait un bon plan.
Gödel : La proposition : «La poule a traversé la rue » est indécidable.
Fermat : Je l’ai découvert, mais je n’ai pas la place pour l’écrire.
(N.B.)
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Le platonisme comme philosophie des mathématiques, ou : Les objets mathématiques existent, je les ai rencontrés!
On rapporte qu’à l’entrée de l’Académie (l’école qu’il avait fondée à Athènes) Platon (427-347) avait fait écrire : «Nul n’entre ici s’il n’est géomètre ».
L’anecdote nous indique l’importance des mathématiques pour le philosophe et la très haute estime qu’il avait pour elles. Platon est loin d’être le seul dans ce cas et bien des philosophes ont partagé son amour et sa fascination pour les mathématiques .
Ce qui fascinait Platon et qui fascine encore tant de gens, c’est que les mathématiques nous procurent un savoir certain et qui semble en outre indépendant de l’expérience. La proposition : 2 + 2 = 4 est irréfutable et me parait certaine dès lors que je la comprends ; de plus, je ne peux pas concevoir d’expérience qui la contredirait et je n’ai même pas besoin de l’expérience pour la savoir certaine. Pensez y : on s’inquiéterait pour la personne qui nous dirait avoir vérifié la chose et que 2 + 2 ne font finalement pas 4! Et pour la convaincre de son erreur, on devrait s’assurer qu’elle comprend bien, dans sa tête si je peux dire, ce que signifie 2, 4, +, et =.
Comment expliquer ces étranges caractéristiques du savoir mathématique? Platon avait une réponse à cette question, une réponse à laquelle de très nombreux mathématiciens restent attachés — on les appelle justement platonistes pour cette raison.
Ce que Platon suggère, c’est que les objets dont s’occupe les mathématiques, c’est-à-dire les nombres, les figures géométriques et ainsi de suite, existent réellement, indépendamment de nous, et cela même si on n’accède pas à eux à travers nos cinq sens mais grâce, disons-le simplement, à notre esprit. Quand nous faisons des mathématiques, pense Platon, nous accédons à cet autre ordre de réalité et nous le contemplons. Les idées auxquelles on accède alors sont pures, éternelles (on écrit en ce sens Idées avec une majuscule) et le monde auquel elles appartiennent est appelé par Platon le monde intelligible, par opposition au monde sensible, celui de tous les jours.
Les Idées mathématiques ne sont pas tirées du monde sensible : on les applique plutôt à lui et ce monde sensible n’est qu’un pâle reflet du monde intelligible. Dans le monde sensible, les cercles, les triangles, et ainsi de suite ne sont jamais parfaits : ils ne sont que de médiocres reflets des Cercles, Triangles, etc. éternels et parfaits et ne sont reconnaissables par nous que parce que nous avons déjà, en nous, l’Idée de Cercle, celle de Triangle, etc. Dans le monde sensible, dirait Platon, on observe bien des paires, mais pas le nombre 2 lui-même; et nous n’avons, à propos du monde sensible, que de simples opinions: le savoir mathématique véritable porte sur les Idées (mathématiques) du monde intelligible, dont, par l’esprit, nous pouvons découvrir des propriétés.
Le mot crucial est ici découvrir. Pour Platon, comme pour tant de mathématiciens et de philosophes, on découvre les objets mathématiques qui existent réellement, hors de nous (on appelle aussi cette position le réalisme). Voici un exemple qui devrait vous aider à sympathiser avec cette théorie à première vue étrange, voire improbable.
Pi, on l’a vu plus haut, est un nombre à développement infini. Or, si tenir Pi pour égal à : 3, 14159 est en pratique suffisamment précis pour tous nos calculs, l’établissement des décimales de Pi est un exercice auquel on se livre encore (il est utile, par exemple, pour tester la puissance et la fiabilité des ordinateurs). Jusqu’où est-on allé dans la découverte de ces décimales de Pi? La réponse, renversante, est qu’on en connaît aujourd’hui plus de mille milliards!
Supposons, par convention, qu’on connaît la mille milliardième décimale de pi et pas la suivante. On trouvera bien un jour cette nouvelle décimale, la mille milliardième et une. Supposons qu’on la trouve dans la minute qui suit. Le chiffre sera pair ou impair. Disons qu’il est pair. Diriez-vous qu’on a inventé qu’il est pair ou qu’on a découvert qu’il est pair? Le réaliste en philosophie des mathématiques ou platoniste, répond sans hésiter qu’on l’a découvert, que tout se passe comme si ce chiffre nous attendait et que nous sommes finalement « tombés dessus », si on peut dire.
Platon, dans sa philosophie qu’on appelle pour cela l’Idéalisme, va généraliser ce qu'il dit des mathématiques à toutes les autres Idées qui peuplent le monde Intelligible : comme il existe une Idée de Nombre dont nous n’apercevons que des pales copies dans le monde Sensible, il existe une Idée de Lit, une Idée de Cheval, mais aussi une Idée de Beau, une Idée de Vrai, et une Idée de Bien. Mais n’entrons pas plus avant dans cet aspect de la philosophie platonicienne et retenons simplement que Platon propose une immensément influente conception de la nature des objets et du savoir mathématique qui explique, en partie au moins, la fascination qu’elles exercent.
Reste cependant à dire comment nous développons ce savoir et comment nous en venons à contempler ces objets. La réponse la plus courante à ces questions est que le savoir mathématique est hypothético-déductif et se présente, idéalement, sous une forme dite axiomatisée. Il me faut brièvement expliquer tout cela avant de revenir à l’humour.
(Et s’il vous faut une petite pause avant de poursuivre, je vous invite à essayer d’identifier l’erreur dans le (mauvais) raisonnement qui suit. La solution est donnée à la fin de ce texte.)
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1. Posons :
a = b
2. Multiplions chaque côté par a :
a 2 = ab
3. Soustrayons b2 de chaque côté :
a2 – b2 = ab – b2
4. Mettons en facteurs :
(a + b) (a – b) = b (a – b)
5. Divisons par a - b :
a + b = b
6. Puisque a, par définition = b
b+ b= b
7. Et si 2 b = b, alors :
2 = 1
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Axiomatique et méthode hypothético-déductive
Beaucoup — et selon Martin Gardner, la plupart — des mathématiciens sont, à des degrés divers, des platonistes en ce qui concerne la nature et le mode d’existence des objets de leur science .
Mais en ce qui concerne cette fois la méthodologie des mathématiques et la manière dont sont établies ses propositions, une position philosophique très commune veut que les mathématiques soient une science formelle, utilisant la méthode hypothético-déductive et dont les résultats peuvent être présentés dans le cadre de systèmes particuliers appelés des axiomatiques. Rien de tout cela n’est vraiment très compliqué.
Une science formelle. L’idée est la suivante. Les différentes autres sciences étudient des objets du monde extérieur, des faits : elles sont factuelles. C’est ainsi que le biologiste étudie des êtres vivants, le physicien la matière et les atomes, le chimiste, les éléments et les molécules, le sociologue des sociétés. Mais les mathématiques, on la vu, n’ont aucun objet de cet ordre, qui serait donné dans l’expérience. Elles s’intéressent à autre chose qu’on peut appeler des formes. Un exemple rendra cela plus clair.
Un météorologue pourra vous dire, avec une marge d’erreur, s’il pleuvra ou non; un logicien, lui, vous dira qu’il pleuvra ou qu’il ne pleuvra pas et que cela est une certitude puisqu’on ne fait ici qu’appliquer au fait de pleuvoir la disjonction exclusive : «P ou non P», laquelle est toujours valide. Notez que l’on dit ici valide (qui est une propriété des formes indépendante de ce qui se trouve être ou non le cas dans le monde) et non vraie (qui est une propriété des propositions factuelles dépendant de l’état du monde).
Une science hypothético-déductive et axiomatisée. Les mathématiques utilisent en effet une méthodologie par laquelle certaines choses étant posées par hypothèse (on les appelle typiquement des axiomes), d’autres, (appelées typiquement des théorèmes) en sont déduites selon certaines règles. On appelle axiomatique un tel système.
De manière intuitive, on peut le définir comme comprenant : des termes premiers et non définis qui serviront à définir tous les autres; des propositions premières, qui serviront à démontrer toutes les autres; et des règles de manipulation. Historiquement le premier exemple, illustre, d’une axiomatique, est celui de la géométrie classique, qui a été l’oEuvre d’Euclide.
Voici un autre chef-d’œuvre du genre, l’axiomatique des entiers naturels de Peano. Le système ne comprend que trois termes non définis : zéro, nombre et successeur; et cinq propositions premières.
En voici une formulation simplifiée:
1. Zéro est un nombre
2. Le successeur d’un nombre est un nombre
3. Des nombres entiers distincts ont des successeurs distincts.
4. Zéro n’est le successeur d’aucun nombre.
5. Si une propriété est vérifiée par 0 et si, pour tout entier naturel qui la vérifie, son successeur la vérifie également, alors la propriété est vraie pour tous les nombres.
Interprétez zéro et successeur selon leurs sens usuels et vous obtenez grâce à cette axiomatique la suite des nombres naturels : 0, 1, 2, … à l’infini.
Je référerai à quelques reprises à cette notion d’axiomatique dans ce qui suit et j’espère donc que mes explications ont été assez claires. Pour le savoir, demandez-vous si vous êtes à présent en mesure de comprendre le bon mot de Bertrand Russell qui assurait :« Les mathématiques sont une science où on ne sait ni de quoi on parle, ni si ce qu'on dit est vrai».
Avec ces outils, revenons à présent à l’humour, avec quoi les mathématiques ainsi comprises présentent de notables similitudes.
dimanche, juillet 12, 2009
HUMOUR ET MATHÉMATIQUES
[Un travail en cours. Il s'agit de l'introduction de mon texte pour le livre: Je pense, dons je ris: l'humour et la philosophie, sous la direction de Christian Boissinot et moi-même, à paraître aux PUL. Vos commentaires sont les bienvenus]
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J’ai un moment hésité à intituler cet article Humour et mathématiques. C’est que je soupçonnais qu’en y apercevant le mot mathématiques, bien des gens, qui ne se souviennent qu’avec angoisse ou douleur de leurs cours de mathématique, ne sautent aussitôt par-dessus mon texte.
Mais il est inutile de le cacher : nous parlerons bien ici de mathématiques et d’humour. Dont acte. Et qui sait? La curiosité de certains lecteurs l’emportera peut-être et au: «Les mathématiques, il n’y a vraiment pas de quoi rire!», succédera une certaine curiosité («Comment peut-on rapprocher ces deux choses-là?»), qui les incitera à au moins aller jeter un œil sur ma prose.
Si cela a été votre cas, je vous souhaite la bienvenue et salue votre courage!
Rapprocher mathématiques et humour, cela peut bien entendu se faire de bien des manières. En voici deux que je ne poursuivrai pas ici.
Rire des mathématiciens
La première serait de rire de travers réels ou présumés des mathématiciens et mathématiciennes [1]. Certains de ceux-ci, à tort ou à raison, sont notoires et donnent en effet à rire ou à sourire. Les gags ainsi produits ne nécessitent typiquement aucun savoir mathématique particulier.
Les mathématiciens sont par exemple présumés être lunatiques et incapables de comprendre que telle ou telle proposition ne soit pas immédiatement claire à chacun — et c’est là, il me semble, en pédagogie, une des sources des difficultés que tant de gens connaissent en mathématiques.
L’histoire qui suit illustre très bien ces deux travers.
Une délégation d’étudiantes et d’étudiants se rend au bureau du professeur de mathématiques pour se plaindre de son enseignement.
— « Pour vous professeur, plaident-ils, tout est clair et évident, comme vous le dites souvent; mais pas pour nous. Vous allez trop rapidement et nous n’avons pas le temps de prendre des notes. Si vous preniez le temps de donner des exemples et d’écrire des choses au tableau, nous pourrions mieux vous suivre. Les choses pourraient alors nous sembler, à nous aussi, claires et évidentes».
Le professeur assure en prendre bonne note et il promet de changer.
Le lendemain il donne son cours, mais, emporté par son sujet, il procède encore une fois comme à son habitude.
Quand il a terminé son exposé, il dit : «Et comme vous voyez, tout cela est parfaitement clair et évident».
Cela lui rappelle sa promesse et il reprend aussitôt : «Clair et évident comme deux et deux font quatre». Et il va au tableau où il écrit : 2+2 = 4.
Rire avec les mathématiques
Une deuxième manière de rapprocher humour et mathématiques serait de rire grâce ou bien à des concepts ou bien à des noms de concepts mathématiques. Mais contrairement à ce qui précède, on ne pourra dans ces deux cas comprendre le gag que si on possède le savoir mathématique qu’il présuppose.
Voici deux exemples d’un d’humour par lequel un concept mathématique permet de faire une blague.
Celle-ci, dit-on, était contée par le logicien et philosophe Ludwig Wittgenstein (1899-1951).
Un mathématicien rencontre un collègue à bout de souffle qui récite :… 9, 5, 1, 4, 1, 3. Ouf!
Il lui dit : — Tu as l’air épuisé. Qu’est-ce qui t’arrive?
Je viens de finir de réciter Pi à l’envers.
On le voit : ce gag ne marche que si la personne à qui on le conte connaît le concept mis en œuvre : Pi étant un nombre irrationnel, son développement est infini et on ne peut donc pas le réciter à l’envers.
Il en va de même de la blague suivante, qui présuppose un certain (bien qu’élémentaire) savoir mathématique :
— Le professeur de mathématiques: Supposons que la distance qu’on recherche est X.
— L’élève: Moi, je veux bien : mais qu’arrive-t-il si la distance n’est pas X?
Ces blagues reposent sur des concepts mathématiques; mais, comme je l’ai dit, on peut aussi rire grâce aux noms de certains concepts mathématiques. Voici quelques exemples de tels jeux de mots qui permettent de rire avec les mathématiques.
— Logarithme et exponentielle vont au restaurant. Qui paie l'addition?
— Exponentielle. Parce que logarithme népérien!
[Le jeu de mot népérien/ ne paie rien repose sur l’adjectif «népérien» qui désigne un type de logarithme. Il est tiré de John Napier ou Neper, un mathématicien écossais qui en est généralement reconnu comme l’inventeur.]
En voici un autre :
— Qu’est-ce qui vit dans la mer et qui n’est pas orientable? Möbius Dick!
Cette fois, le jeu de mot Moby Dick/ Möbius Dick est une référence au Ruban de Möbius. Celui-ci est si particulier (et si amusant?) que je ne résiste pas à la tentation d’en toucher un mot.
Prenez une bande de papier assez longue (disons 50 cm) et pas très large (disons 4 cm). Déposez-la sur la table puis, faites lui faire une demi-rotation et collez les deux extrémités avec du ruban adhésif.
Ce que vous venez de créer devrait ressembler à ce qui suit et est appelé Ruban de Möbius, en l’honneur de l’astronome Allemand qui l’a découvert au XIX ème siècle.
Votre création doit ressembler à ceci :
Ce ruban est très étrange. En fait, vous pouvez parier tout ce que vous voudrez avec vos amis et sans risque aucun qu’ils ne parviendront pas en colorer une face d’une couleur et l’autre face d’une autre couleur. Hésitant? Vérifiez!
Le ruban de Möbius a en effet cette étonnante propriété de n’avoir qu’une seule face! Vous le verrez bien en la suivant du doigt : vous revenez à votre point de départ.
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J’espère qu’on en conviendra: on peut tout à fait rire avec les mathématiques et le rapprochement entre humour et mathématiques n’est pas si incongru qu’il pourrait semble de prime abord.
Ce je souhaite accomplir ici est cependant quelque chose d’un peu plus ambitieux que ces blagues anodines : je voudrais en effet tenter de rapprocher certains procédés humoristiques de certains types de raisonnements mathématiques.
Bien entendu, je ne soutiens nullement que les humoristes sont des mathématiciens qui s’ignorent ou que tous les mathématiciens soient drôles. Mais je voudrais néanmoins faire remarquer combien certains modes de pensée mis en œuvre quand on fait des mathématiques sont aussi à l’œuvre en humour, de sorte que la compréhension des uns aide à la compréhension des autres. C’est grâce à la philosophie des mathématiques, qui s’est beaucoup intéressé à eux, que je dégagerai ces modes de pensée qui sont mis en œuvre en mathématiques et en humour: de sorte que ce texte sera l’occasion d’apprendre, avec humour j’espère, quelques notions de philosophie des mathématiques.
Ce travail de rapprochment constituera l’essentiel du texte qui suit.
Je le terminerai en présentant une thèse très originale due au mathématicien contemporain Allen Paulos qui suggère, très finement, que les mathématiques peuvent nous aider à comprendre pourquoi, en certains cas du moins, nous trouvons que quelque chose est drôle. Pour pleinement apprécier la thèse de Paulos, il faut cependant comprendre cette notion d’axiomatique qui est si importante en mathématiques et en philosophie des mathématiques : je me ferai un devoir et un plaisir de l’expliquer plus loin.
Pour réaliser ce vaste programme, il nous faut commencer par toucher un mot de la philosophie des mathématiques, à laquelle nous demanderons de nous aider à rapprocher mathématiques et humour.
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Comment la poule a-t-elle traversé la rue?
Comment de célèbres mathématiciens répondraient-ils à cette fameuse question?
Je me suis amusé à imaginer quelques réponses possibles :
Zénon : La poule n’est jamais parvenue de l’autre côté de la rue.
Pythagore : Selon une diagonale, ce qui était le plus court chemin
Newton : Selon une accélération que permet de déterminer avec précision une nouvelle branche des mathématiques dont je suis l’inventeur.
Leibniz : Dont JE suis l’inventeur.
Einstein : Dans quel référentiel?
Weierstrass : En continu.
Fibonacci : En suivant un nombre d’or de lapins.
Russell : En se rendant chez le plumeur, puisqu’elle ne se plumait pas elle-même.
Descartes : Elle avait un bon plan.
Gödel : La proposition : «La poule a traversé la rue » est indécidable.
Fermat : Je l’ai découvert, mais je n’ai pas la place pour l’écrire.
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[1] Les mathématiques ont peut-être longtemps été l’apanage des hommes, mais elles ne le sont plus et nous avons à présent retrouvé la sagesse de Platon qui croyait que si les mathématiques, ou du moins les mathématiques avancées, ne sont pas pour tout le monde, certaines femmes, autant que certains hommes peuvent y exceller. Bien que parfaitement conscient de tout cela — et aussi du fait que de nombreuses femmes mathématiciennes ont, historiquement, apporté de significatives contributions à leur discipline — je vais néanmoins, pour alléger ce texte, utiliser le mot mathématiciens pour désigner les mathématiciens et les mathématiciennes.
***
J’ai un moment hésité à intituler cet article Humour et mathématiques. C’est que je soupçonnais qu’en y apercevant le mot mathématiques, bien des gens, qui ne se souviennent qu’avec angoisse ou douleur de leurs cours de mathématique, ne sautent aussitôt par-dessus mon texte.
Mais il est inutile de le cacher : nous parlerons bien ici de mathématiques et d’humour. Dont acte. Et qui sait? La curiosité de certains lecteurs l’emportera peut-être et au: «Les mathématiques, il n’y a vraiment pas de quoi rire!», succédera une certaine curiosité («Comment peut-on rapprocher ces deux choses-là?»), qui les incitera à au moins aller jeter un œil sur ma prose.
Si cela a été votre cas, je vous souhaite la bienvenue et salue votre courage!
Rapprocher mathématiques et humour, cela peut bien entendu se faire de bien des manières. En voici deux que je ne poursuivrai pas ici.
Rire des mathématiciens
La première serait de rire de travers réels ou présumés des mathématiciens et mathématiciennes [1]. Certains de ceux-ci, à tort ou à raison, sont notoires et donnent en effet à rire ou à sourire. Les gags ainsi produits ne nécessitent typiquement aucun savoir mathématique particulier.
Les mathématiciens sont par exemple présumés être lunatiques et incapables de comprendre que telle ou telle proposition ne soit pas immédiatement claire à chacun — et c’est là, il me semble, en pédagogie, une des sources des difficultés que tant de gens connaissent en mathématiques.
L’histoire qui suit illustre très bien ces deux travers.
Une délégation d’étudiantes et d’étudiants se rend au bureau du professeur de mathématiques pour se plaindre de son enseignement.
— « Pour vous professeur, plaident-ils, tout est clair et évident, comme vous le dites souvent; mais pas pour nous. Vous allez trop rapidement et nous n’avons pas le temps de prendre des notes. Si vous preniez le temps de donner des exemples et d’écrire des choses au tableau, nous pourrions mieux vous suivre. Les choses pourraient alors nous sembler, à nous aussi, claires et évidentes».
Le professeur assure en prendre bonne note et il promet de changer.
Le lendemain il donne son cours, mais, emporté par son sujet, il procède encore une fois comme à son habitude.
Quand il a terminé son exposé, il dit : «Et comme vous voyez, tout cela est parfaitement clair et évident».
Cela lui rappelle sa promesse et il reprend aussitôt : «Clair et évident comme deux et deux font quatre». Et il va au tableau où il écrit : 2+2 = 4.
Rire avec les mathématiques
Une deuxième manière de rapprocher humour et mathématiques serait de rire grâce ou bien à des concepts ou bien à des noms de concepts mathématiques. Mais contrairement à ce qui précède, on ne pourra dans ces deux cas comprendre le gag que si on possède le savoir mathématique qu’il présuppose.
Voici deux exemples d’un d’humour par lequel un concept mathématique permet de faire une blague.
Celle-ci, dit-on, était contée par le logicien et philosophe Ludwig Wittgenstein (1899-1951).
Un mathématicien rencontre un collègue à bout de souffle qui récite :… 9, 5, 1, 4, 1, 3. Ouf!
Il lui dit : — Tu as l’air épuisé. Qu’est-ce qui t’arrive?
Je viens de finir de réciter Pi à l’envers.
On le voit : ce gag ne marche que si la personne à qui on le conte connaît le concept mis en œuvre : Pi étant un nombre irrationnel, son développement est infini et on ne peut donc pas le réciter à l’envers.
Il en va de même de la blague suivante, qui présuppose un certain (bien qu’élémentaire) savoir mathématique :
— Le professeur de mathématiques: Supposons que la distance qu’on recherche est X.
— L’élève: Moi, je veux bien : mais qu’arrive-t-il si la distance n’est pas X?
Ces blagues reposent sur des concepts mathématiques; mais, comme je l’ai dit, on peut aussi rire grâce aux noms de certains concepts mathématiques. Voici quelques exemples de tels jeux de mots qui permettent de rire avec les mathématiques.
— Logarithme et exponentielle vont au restaurant. Qui paie l'addition?
— Exponentielle. Parce que logarithme népérien!
[Le jeu de mot népérien/ ne paie rien repose sur l’adjectif «népérien» qui désigne un type de logarithme. Il est tiré de John Napier ou Neper, un mathématicien écossais qui en est généralement reconnu comme l’inventeur.]
En voici un autre :
— Qu’est-ce qui vit dans la mer et qui n’est pas orientable? Möbius Dick!
Cette fois, le jeu de mot Moby Dick/ Möbius Dick est une référence au Ruban de Möbius. Celui-ci est si particulier (et si amusant?) que je ne résiste pas à la tentation d’en toucher un mot.
Prenez une bande de papier assez longue (disons 50 cm) et pas très large (disons 4 cm). Déposez-la sur la table puis, faites lui faire une demi-rotation et collez les deux extrémités avec du ruban adhésif.
Ce que vous venez de créer devrait ressembler à ce qui suit et est appelé Ruban de Möbius, en l’honneur de l’astronome Allemand qui l’a découvert au XIX ème siècle.
Votre création doit ressembler à ceci :
Ce ruban est très étrange. En fait, vous pouvez parier tout ce que vous voudrez avec vos amis et sans risque aucun qu’ils ne parviendront pas en colorer une face d’une couleur et l’autre face d’une autre couleur. Hésitant? Vérifiez!
Le ruban de Möbius a en effet cette étonnante propriété de n’avoir qu’une seule face! Vous le verrez bien en la suivant du doigt : vous revenez à votre point de départ.
***
J’espère qu’on en conviendra: on peut tout à fait rire avec les mathématiques et le rapprochement entre humour et mathématiques n’est pas si incongru qu’il pourrait semble de prime abord.
Ce je souhaite accomplir ici est cependant quelque chose d’un peu plus ambitieux que ces blagues anodines : je voudrais en effet tenter de rapprocher certains procédés humoristiques de certains types de raisonnements mathématiques.
Bien entendu, je ne soutiens nullement que les humoristes sont des mathématiciens qui s’ignorent ou que tous les mathématiciens soient drôles. Mais je voudrais néanmoins faire remarquer combien certains modes de pensée mis en œuvre quand on fait des mathématiques sont aussi à l’œuvre en humour, de sorte que la compréhension des uns aide à la compréhension des autres. C’est grâce à la philosophie des mathématiques, qui s’est beaucoup intéressé à eux, que je dégagerai ces modes de pensée qui sont mis en œuvre en mathématiques et en humour: de sorte que ce texte sera l’occasion d’apprendre, avec humour j’espère, quelques notions de philosophie des mathématiques.
Ce travail de rapprochment constituera l’essentiel du texte qui suit.
Je le terminerai en présentant une thèse très originale due au mathématicien contemporain Allen Paulos qui suggère, très finement, que les mathématiques peuvent nous aider à comprendre pourquoi, en certains cas du moins, nous trouvons que quelque chose est drôle. Pour pleinement apprécier la thèse de Paulos, il faut cependant comprendre cette notion d’axiomatique qui est si importante en mathématiques et en philosophie des mathématiques : je me ferai un devoir et un plaisir de l’expliquer plus loin.
Pour réaliser ce vaste programme, il nous faut commencer par toucher un mot de la philosophie des mathématiques, à laquelle nous demanderons de nous aider à rapprocher mathématiques et humour.
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Comment la poule a-t-elle traversé la rue?
Comment de célèbres mathématiciens répondraient-ils à cette fameuse question?
Je me suis amusé à imaginer quelques réponses possibles :
Zénon : La poule n’est jamais parvenue de l’autre côté de la rue.
Pythagore : Selon une diagonale, ce qui était le plus court chemin
Newton : Selon une accélération que permet de déterminer avec précision une nouvelle branche des mathématiques dont je suis l’inventeur.
Leibniz : Dont JE suis l’inventeur.
Einstein : Dans quel référentiel?
Weierstrass : En continu.
Fibonacci : En suivant un nombre d’or de lapins.
Russell : En se rendant chez le plumeur, puisqu’elle ne se plumait pas elle-même.
Descartes : Elle avait un bon plan.
Gödel : La proposition : «La poule a traversé la rue » est indécidable.
Fermat : Je l’ai découvert, mais je n’ai pas la place pour l’écrire.
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[1] Les mathématiques ont peut-être longtemps été l’apanage des hommes, mais elles ne le sont plus et nous avons à présent retrouvé la sagesse de Platon qui croyait que si les mathématiques, ou du moins les mathématiques avancées, ne sont pas pour tout le monde, certaines femmes, autant que certains hommes peuvent y exceller. Bien que parfaitement conscient de tout cela — et aussi du fait que de nombreuses femmes mathématiciennes ont, historiquement, apporté de significatives contributions à leur discipline — je vais néanmoins, pour alléger ce texte, utiliser le mot mathématiciens pour désigner les mathématiciens et les mathématiciennes.
vendredi, juin 05, 2009
L’ARITHMÉTIQUE ÉLÉMENTAIRE AVEC MARCEL PAGNOL: LA RECETTE DU PICON-CITRON-CURAÇAO
[Et un dernier...]
César : Eh bien, pour la dixième fois, je vais te l'expliquer, le picon-citron-curaçao. (Il s'installe derrière le comptoir.) Approche-toi ! (Marius s'avance, et va suivre de près l'opération. César prend un grand verre, une carafe et trois bouteilles. Tout en parlant, il compose le breuvage.) Tu mets d'abord un tiers de curaçao. Fais attention : un tout petit tiers. Bon. Maintenant, un tiers de citron. Un peu plus gros. Bon. Ensuite, un BON tiers de Picon. Regarde la couleur. Regarde comme c'est joli. Et à la fin, un grand tiers d'eau. Voilà.
Marius : Et ça fait quatre tiers.
César : Exactement. J'espère que cette fois, tu as compris. (Il boit une gorgée du mélange)
Marius : Dans un verre, il n'y a que trois tiers.
César : Mais, imbécile, ça dépend de la grosseur des tiers !
Marius : Eh non, ça ne dépend pas. Même dans un arrosoir, on ne peut mettre que trois tiers.
César (triomphant) : Alors, explique-moi comment j'en ai mis quatre dans ce verre !
Marius : Ça, c'est de l'Arithmétique.
Marcel Pagnol, Marius, Acte I, scène 2.
César : Eh bien, pour la dixième fois, je vais te l'expliquer, le picon-citron-curaçao. (Il s'installe derrière le comptoir.) Approche-toi ! (Marius s'avance, et va suivre de près l'opération. César prend un grand verre, une carafe et trois bouteilles. Tout en parlant, il compose le breuvage.) Tu mets d'abord un tiers de curaçao. Fais attention : un tout petit tiers. Bon. Maintenant, un tiers de citron. Un peu plus gros. Bon. Ensuite, un BON tiers de Picon. Regarde la couleur. Regarde comme c'est joli. Et à la fin, un grand tiers d'eau. Voilà.
Marius : Et ça fait quatre tiers.
César : Exactement. J'espère que cette fois, tu as compris. (Il boit une gorgée du mélange)
Marius : Dans un verre, il n'y a que trois tiers.
César : Mais, imbécile, ça dépend de la grosseur des tiers !
Marius : Eh non, ça ne dépend pas. Même dans un arrosoir, on ne peut mettre que trois tiers.
César (triomphant) : Alors, explique-moi comment j'en ai mis quatre dans ce verre !
Marius : Ça, c'est de l'Arithmétique.
Marcel Pagnol, Marius, Acte I, scène 2.
BLAGUES POUR MATHEUX ET MATHEUSES
[Encore un début de possible encadré]
— Le professeur de mathématiques: Supposons que la distance qu’on recherche est X.
— L’élève: Moi, je veux bien : mais qu’arrive-t-il si la distance n’est pas X?
***
Zénonphobie : La peur irrationnelle des séries infinies convergentes.
***
Quelle est la différence entre un mathématicien et un philosophe? Le mathématicien peut travailler avec seulement un stylo, un papier et une poubelle; le philosophe croit pouvoir se passer de la poubelle.
***
Qu’est-ce qui vit dans la mer et qui n’est pas orientable? Möbius Dick!
***
— Pourquoi la poule a-t-elle traversé la rue?
— Gödel : On ne peut pas prouver que la poule ait traversé la rue.
***
La vie est complexe : certains de ses éléments sont réels, d’autres imaginaires.
***
a= b
a 2 = ab
a2 – b2 = ab – b2
(a + b) (a – b) = b (a – b)
a + b = b
2 b = b
2 = 1
— Le professeur de mathématiques: Supposons que la distance qu’on recherche est X.
— L’élève: Moi, je veux bien : mais qu’arrive-t-il si la distance n’est pas X?
***
Zénonphobie : La peur irrationnelle des séries infinies convergentes.
***
Quelle est la différence entre un mathématicien et un philosophe? Le mathématicien peut travailler avec seulement un stylo, un papier et une poubelle; le philosophe croit pouvoir se passer de la poubelle.
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Qu’est-ce qui vit dans la mer et qui n’est pas orientable? Möbius Dick!
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— Pourquoi la poule a-t-elle traversé la rue?
— Gödel : On ne peut pas prouver que la poule ait traversé la rue.
***
La vie est complexe : certains de ses éléments sont réels, d’autres imaginaires.
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a= b
a 2 = ab
a2 – b2 = ab – b2
(a + b) (a – b) = b (a – b)
a + b = b
2 b = b
2 = 1
COMMENT LA POULE... POUR MATHEUSES ET MATHEUX
[Début d'un possible encadré pour mon texte sur Humour et mathématiques. Cela vous en suggère-t-il d'autres? Commentaires et suggestions bienvenus.]
Comment la poule a-t-elle traversé la rue?
Zénon : La poule n’est jamais parvenue de l’autre côté de la rue.
Pythagore : Selon une diagonale, ce qui était le plus court chemin.
Newton : Selon une accélération que permet de déterminer avec précision une nouvelle branche des mathématiques dont je suis l’inventeur.
Leibnitz : Dont JE suis l’inventeur.
Einstein : Dans quel référentiel?
Weierstrass : En continu.
Fibonacci : En suivant un nombre d’or de lapins.
Descartes : Elle avait un bon plan.
Comment la poule a-t-elle traversé la rue?
Zénon : La poule n’est jamais parvenue de l’autre côté de la rue.
Pythagore : Selon une diagonale, ce qui était le plus court chemin.
Newton : Selon une accélération que permet de déterminer avec précision une nouvelle branche des mathématiques dont je suis l’inventeur.
Leibnitz : Dont JE suis l’inventeur.
Einstein : Dans quel référentiel?
Weierstrass : En continu.
Fibonacci : En suivant un nombre d’or de lapins.
Descartes : Elle avait un bon plan.
BLAGUES PAR AUTORÉFÉRENCE CONTRADICTOIRE
[Un possible encadré pour mon texte sur Humour et mathématiques. Est-ce le bon titre? Sont-elles bonnes et pertinentes? En connaissez-vous d'autres?Commentaires bienvenus.]
***
Des problèmes avec les mathématiques?
Appelez :
1-800-[(10x)(13i)^2]-[sin(xy)/2.362x].
***
Le saviez-vous? 87, 22369% des données statistiques prétendent parvenir à un degré de précision que les méthodes utilisées ne permettent pas de garantir.
***
— Je n’accepterais jamais d’être membre d’un club qui voudrait de moi comme membre.
—Tels sont mes principes : et si vous en les aimez pas, j’en ai d’autres.
(Groucho Marx)
***
Le sondeur : — Connaissez-vous le degré d’ignorance et de désintérêt du public pour les affaires publiques? Qu’en pensez-vous?
Le sondé : — Je l’ignore et je m’en fous.
***
Des problèmes avec les mathématiques?
Appelez :
1-800-[(10x)(13i)^2]-[sin(xy)/2.362x].
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Le saviez-vous? 87, 22369% des données statistiques prétendent parvenir à un degré de précision que les méthodes utilisées ne permettent pas de garantir.
***
— Je n’accepterais jamais d’être membre d’un club qui voudrait de moi comme membre.
—Tels sont mes principes : et si vous en les aimez pas, j’en ai d’autres.
(Groucho Marx)
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Le sondeur : — Connaissez-vous le degré d’ignorance et de désintérêt du public pour les affaires publiques? Qu’en pensez-vous?
Le sondé : — Je l’ignore et je m’en fous.
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