ABRACADABRA! … ET POURQUOI ÇA FONCTIONNE

Bien des enfants ont joué à l’ amusant et intriguant petit jeu qui suit.
Se présentant comme une magicienne capable de prédire l’avenir, une personne inscrit un nombre sur une feuille de papier qu’elle plie et remet à une autre personne pour que celle-ci la conserve et s’assure que la magicienne ne pourra modifier ce qui y est écrit.
On demande ensuite à un autre participant d’écrire sur une feuille un nombre de trois chiffres différents. Ce participant est ensuite invité à retourner ce nombre (i.e. s’il a écrit 572, il obtiendra par ce retournement 275), à faire la différence entre le plus grand et le plus petit, à retourner le nombre ainsi obtenu avant de l’ajouter au résultat de la soustraction précédente.
Le participant est alors invité à lire le résultat obtenu. On lit alors le nombre que la magicienne avait inscrit sur la feuille de papier : abracadabra! C’est le même!
Pour prendre de nouveau l’exemple précédent, on aurait :
572-275= 297; 297+ 792= 1089
Vous l’avez deviné : il ne s’agit aucunement de prémonition et le truc fonctionnera à tout coup. La magicienne écrit toujours 1089 sur sa feuille de papier : et tel est bien le résultat auquel parviendra le participant, quel que soit le nombre de trois chiffres différents dont il partira.
Ce petit truc est amusant en soi. Mais une question se pose : pourquoi cela marche-t-il à tous les coups? La réponse fait pénétrer dans cette branche des mathématiques qui s’appelle l’algèbre et constitue une très amusante manière d’en apprécier la nature et l’utilité.

POURQUOI ÇA FONCTIONNE

On se souviendra que nous commençons en choisissant un nombre de trois chiffres quel qu’il soit. L’algèbre nous permettra de raisonner sur ce nombre en le désignant par des lettres. Appelons ce nombre: abc.
Ici, a désigne des centaines, b des dizaines et c des unités.
Ce nombre correspond donc à :
100a +10b + c.
La première étape de notre tour nous demande de le retourner : ce qui nous donne : 100c + 10b + a; puis de soustraire le nombre obtenu du nombre de départ, ce qui revient à :
100a +10b + c – (100c + 10b + a).
Dans cette opération, on peut éliminer les b (10b-10b = 0); le reste donne : 99 a – 99c, ce qui revient à : 99 (a-c). Et comme a et c sont des entiers, l’opération aboutit toujours à un multiple de 99 comprenant trois chiffres. Les seules possibilités sont les suivantes:
198; 297; 396; 495; 594; 693; 792; 891.
Or, comme vous pouvez le constater, à chaque fois, si on additionne le premier chiffre et le troisième (et le troisième avec le premier), on obtient toujours un 9! Et justement, la dernière partie du tour nous demande de renverser ce nombre et à l’ajouter à celui qui a été renversé.
Qu’obtiendra-t-on de la sorte? Supposons qu’on parte avec 198. On aura : 198+891= 1089. Et ce sera le cas pour tous les autres multiples de 99 à trois chiffres. Pourquoi? Parce qu’à tout coup on obtient 9 paquets de 100 pour les centaines, i.e. 9a; 2 paquets de 9 pour les dizaines, i.e. 18b; et 9 paquets de 1 pour les unités, i.e. 9c.
On arrive donc, immanquablement à:
900+ 180+ 9 = 1089

C’est tout de même amusant, l’algèbre.